trzy ciągi

[mosdef21]

Który z ciągów
\(\ln(n)\)
\( \sqrt[n]{n!} \)
\(n^n\)

ma własność \(a_n^2 \geq a_{n-1} a_{n+1}\) dla \(n>1\)
?

[Jerry]

Dla wklęsłej funkcji \(y=f(x)=\ln x\), z nierówności Jensena oraz porządku pomiędzy średnimi arytmetyczną i geometryczną mamy:
\[\ln n\ge \frac{\ln (n-1)+\ln(n+1)}{2}\ge\sqrt{\ln (n-1)\cdot\ln(n+1)}\]
skąd odpowiedź.

Pozdrawiam
PS. Pozostałe ciągi nie spełniają danego warunku już dla \(n=2\)

[mosdef21]

A jak mam rozumieć tą własność jak to połączyć z wyrazami ciągu. I może Pan pokazać dlaczego te pozostałe ciągi nie spełniają tego warunku. Czy to można podciągnąć pod zależność miedzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu?

[janusz55]

Proszę podstawić do nierówności każdy z ciągów \( (a_{n}) \) i sprawdzić jej prawdziwość.

[eresh]

A jak mam rozumieć tą własność jak to połączyć z wyrazami ciągu. I może Pan pokazać dlaczego te pozostałe ciągi nie spełniają tego warunku. Czy to można podciągnąć pod zależność miedzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu?

Nierówność Jensena dla funkcji wklęsłej (\(f(x)=\ln x\) jest wklęła)

\(f(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)\geq \alpha_1f(x_1)+\alpha_2f(x_2)\\
\ln n=\ln (\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2})=\ln (\frac{1}{2}(n+1)+\frac{1}{2}(n-1))\)
stosujemy nierówność Jensena:
\(\ln n\geq \frac{1}{2}\ln (n+1)+\frac{1}{2}\ln (n-1)\\
\ln n\geq\frac{\ln (n+1)+\ln (n-1)}{2}\)
korzystamy z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną:
\(\ln n\geq\frac{\ln (n+1)+\ln (n-1)}{2}\geq\sqrt[2]{\ln (n+1)\ln(n-1)}\\
\ln^2 n\geq\ln (n+1)\ln(n-1)\\
a_{n}^2\geq a_{n+1}\cdot a_{n-1} \)

[Jerry]

...korzystamy z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną:
\(\ldots\frac{\ln (n+1)+\ln (n-1)}{2}\geq\sqrt[2]{\ln (n+1)(n-1)}\\
\ln^2 n\geq\ln (n+1)(n-1)\\
a_{n}^2\geq a_{n+1}\cdot a_{n-1} \)

To nie jest poprawnie

Pozdrawiam

[eresh]

To nie jest poprawnie

Pozdrawiam

Zgadza się, zjadłam logarytm. Zaraz skoryguję

[Jerry]

A jak mam rozumieć tą własność jak to połączyć z wyrazami ciągu...

eresh już to zrobiła...

....Czy to można podciągnąć pod zależność miedzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu?

Własność oczekuje prawdziwości porządku dla każdego \(n>1\), czyli w szczególności dla \(n=2\). Jeśli ta nie zajdzie, to... nie dla każdego!

... dlaczego te pozostałe ciągi nie spełniają tego warunku ...

Pozostawiam Ci do sprawdzenia prawdziwość nierówności:

• \(a_2^2=(\sqrt[2]{2!})^2\ge\sqrt[1]{1!}\cdot\sqrt[3]{3!}=a_{2-1}\cdot a_{2+1}\)
• \(a_2^2=\left(2^2\right)^2\ge 1^1\cdot3^3=a_{2-1}\cdot a_{2+1}\)

Pozdrawiam

[janusz55]

Wystarczy też podstawić:

\( \ln^2(n) \geq \ln(n-1)\cdot \ln(n+1)\)


\( \ln^2(n) < n^2, \ \ \ln(n-1) < (n-1), \ \ \ln(n+1)< (n+1), \ \ n>2.\)

Stąd

\( n^2 \geq (n-1)(n+1) = n^2-1.\) - prawda.

W programach szkolnych nie ma nierówności Jensena.

[Jerry]

Wystarczy też podstawić:

\( \ln^(2) \geq \ln(n-1)\cdot \ln(n+1)\)


\( \ln(n^2) < n^2, \ \ \ln(n-1) < (n-1), \ \ \ln(n+1)< (n+1), \ \ n>2.\)

Stąd

\( n^2 \geq (n-1)(n+1) = n^2-1.\) - prawda.

Pomijam brak związku z treścią dyskutowanego zadania...

W programach szkolnych nie ma nierówności Jensena.

Ale rozumny, po narysowaniu wykresu funkcji wklęsłej określonej w \([x_1;x_2]\), zauważy, że zachodzi
\[f\left({x_1+x_2\over2}\right)\ge\frac{ f\left({x_1}\right)+f\left(x_2\right)}{2}\]
Pozdrawiam

[janusz55]

Nie ma co pomijać zwykłego podstawienia z nierównością Jensena " strzelaniem z armaty do wróbla".

[Icanseepeace]

Wystarczy też podstawić:

\( \ln^2(n) \geq \ln(n-1)\cdot \ln(n+1)\)


\( \ln^2(n) < n^2, \ \ \ln(n-1) < (n-1), \ \ \ln(n+1)< (n+1), \ \ n>2.\)

Stąd

\( n^2 \geq (n-1)(n+1) = n^2-1.\) - prawda.

W programach szkolnych nie ma nierówności Jensena.

\( \ln(n^2) = 2\ln(n) < 2n \)
jak się zachowuje nierówność przy takim oszacowaniu lewej strony?
Oszacowałeś strasznie słabo tylko po to aby wynik się zgadzał.
Natomiast sama jakoś takiego sprawdzenia jest mówiąc krótko marna.
Inny przykład na samych liczbach:
\( 6 > 3 \cdot 1 \), no ale:
\( 7 > 6 \) oraz \( 4 > 3 \) oraz \( 2 > 1 \), więc
\( 7 > 4 \cdot 2 = 8 \)

[janusz55]

Korzysta się z nierówności \( \ln(n^2) < n^2! [/tex\)