Niech \(\int_{0}^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{g}(\mathrm{u}) \mathrm{du}}{\mathrm{u}+f(\mathrm{x})}=1\) gdzie \(f\) oraz \(\mathrm{g} \) są ciągłe na \([0, \infty), f>0\) na \( (0, \infty)\) oraz \(g>0\) na \([0, \infty)\). Pochodna \(f^{\prime}(0)\) jest równa:
(A)\(\frac{1}{e^{\frac{1}{g(0)}}-1}\)
(B) \(e^{g(0)}-1\)
(C) \(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{g}{(0)}}}-1\)
(D) nie istnieje
?
całka, pochodna, ciągłość
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: całka, pochodna, ciągłość
Całkę przybliżamy rozwinięciem w szereg Puisex'a :
\( \int_{0}^{x}\frac{g(u)}{ u +f(x)} du = \left\{g(0)[\ln(u + f(x)] + [u + f(x)]g'(0)\right\} \mid_{0}^{x} = 1,\)
\( \int_{0}^{x}\frac{g(u)}{ u +f(x)} du = g(0)[\ln(x + f(x)] + [x + f(x)]g'(0) - g(0) \ln(f(x)) - f(x)g'(0) = 1.\)
Stąd
\( g(0)[\ln(x+f(x)) - \ln(f(x)] + [f(x)- f(x)]g'(0) = 1.\)
\( g(0)\ln\left (\frac{x+ f(x)}{f(x)}\right) = 1,\)
\(\ln\left (\frac{x+ f(x)}{f(x)}\right) = \frac{1}{g(0)},\)
\( \frac{x}{f(x)} + 1 = e^{\frac{1}{g(0)}},\)
\( \frac{x}{f(x)} = e^{\frac{1}{g(0)}} -1, \)
\( f(x) = \frac{x}{e^{\frac{1}{g(0)}} -1},\)
\( f'(x) = \frac{1}{e^{\frac{1}{g(0)}} -1}, \ \ x\in [0, \infty). \)
W szczególności
\( f'(0) = \frac{1}{e^{\frac{1}{g(0)}} -1}.\)
Odpowiedź: A.
\( \int_{0}^{x}\frac{g(u)}{ u +f(x)} du = \left\{g(0)[\ln(u + f(x)] + [u + f(x)]g'(0)\right\} \mid_{0}^{x} = 1,\)
\( \int_{0}^{x}\frac{g(u)}{ u +f(x)} du = g(0)[\ln(x + f(x)] + [x + f(x)]g'(0) - g(0) \ln(f(x)) - f(x)g'(0) = 1.\)
Stąd
\( g(0)[\ln(x+f(x)) - \ln(f(x)] + [f(x)- f(x)]g'(0) = 1.\)
\( g(0)\ln\left (\frac{x+ f(x)}{f(x)}\right) = 1,\)
\(\ln\left (\frac{x+ f(x)}{f(x)}\right) = \frac{1}{g(0)},\)
\( \frac{x}{f(x)} + 1 = e^{\frac{1}{g(0)}},\)
\( \frac{x}{f(x)} = e^{\frac{1}{g(0)}} -1, \)
\( f(x) = \frac{x}{e^{\frac{1}{g(0)}} -1},\)
\( f'(x) = \frac{1}{e^{\frac{1}{g(0)}} -1}, \ \ x\in [0, \infty). \)
W szczególności
\( f'(0) = \frac{1}{e^{\frac{1}{g(0)}} -1}.\)
Odpowiedź: A.