W urnie znajduje się 5 kul czarnych i 7 kul białych. Usuwamy losowo jedną kulę z urny. Następnie
losujemy jednocześnie z urny 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule będą białe?
urna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10384 razy
- Płeć:
Re: urna
\(P(A)=\frac{5}{12}\cdot\frac{{7\choose 3}}{11\choose 3}+\frac{7}{12}\cdot\frac{{6\choose 3}}{11\choose 3}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2073
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 492 razy
Re: urna
Rozwiązanie
Doświadczenie losowe składa się z dwóch losowych czynności:
1.
- wylosowanie jednej kuli z urny zawierającej \( 5 \) kul czarnych i \( 7 \) kul białych i odłożenie na bok,
2.
- jednoczesne losowanie trzech kul.
Oznaczenia:
\( B \) - zbiór składający się z siedmiu kul białych,
\( C \) - zbiór składający się z pięciu kul czarnych.
\( b \) - zdarzenie " wylosowanie kuli białej",
\( c \) - zdarzenie "wylosowanie kuli czarnej,"
\( B_{3} \) - zdarzenie -" wylosowanie trzech kul białych.
Zakładamy, że każdy element zbiorów \( \Omega \) występuje z równym prawdopodobieństwem.
1.
\( \Omega_{1} = \{ \omega_{1} = \{b\} \wedge b\in B, \ \ \omega_{2} = \{c\} \wedge c \in C \}.\)
\( P_{1}(\omega_{1}) = P_{1}(\{b\}) = \frac{7}{12}, \ \ P_{1}(\omega_{2}) = P_{1}(\{c\}) = \frac{5}{12}.\)
2.
\( \Omega_{2} =\{ \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\} : \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\}\in \{b, b, b\}, \{c,b,b\},\{b.c,b\}, \{ b,b,c\}, \{b,c,c\}, \{c,b.c\} \{c,c,b\}, \{c,c,c\}\} .\)
\( P(B_{3}) = P_{1}(\{b\}) \cdot P(\{b,b,b\}) + P_{1}(\{c\}) \cdot P(\{b,b,b\}),\)
\( P(B_{3}) =\frac{7}{12}\cdot\frac{{6\choose 3}}{{11\choose 3}} + \frac{5}{12}\cdot \frac{{7\choose 3}}{{11\choose 3}} \approx 0,16.\)
Program R
Interpretacja otrzymanego wyniku
Wykonując doświadczenie losowe możemy oczekiwać, że w około \(16\% \) ogólnej liczby jego wyników otrzymamy trzy białe kule.
Doświadczenie losowe składa się z dwóch losowych czynności:
1.
- wylosowanie jednej kuli z urny zawierającej \( 5 \) kul czarnych i \( 7 \) kul białych i odłożenie na bok,
2.
- jednoczesne losowanie trzech kul.
Oznaczenia:
\( B \) - zbiór składający się z siedmiu kul białych,
\( C \) - zbiór składający się z pięciu kul czarnych.
\( b \) - zdarzenie " wylosowanie kuli białej",
\( c \) - zdarzenie "wylosowanie kuli czarnej,"
\( B_{3} \) - zdarzenie -" wylosowanie trzech kul białych.
Zakładamy, że każdy element zbiorów \( \Omega \) występuje z równym prawdopodobieństwem.
1.
\( \Omega_{1} = \{ \omega_{1} = \{b\} \wedge b\in B, \ \ \omega_{2} = \{c\} \wedge c \in C \}.\)
\( P_{1}(\omega_{1}) = P_{1}(\{b\}) = \frac{7}{12}, \ \ P_{1}(\omega_{2}) = P_{1}(\{c\}) = \frac{5}{12}.\)
2.
\( \Omega_{2} =\{ \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\} : \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\}\in \{b, b, b\}, \{c,b,b\},\{b.c,b\}, \{ b,b,c\}, \{b,c,c\}, \{c,b.c\} \{c,c,b\}, \{c,c,c\}\} .\)
\( P(B_{3}) = P_{1}(\{b\}) \cdot P(\{b,b,b\}) + P_{1}(\{c\}) \cdot P(\{b,b,b\}),\)
\( P(B_{3}) =\frac{7}{12}\cdot\frac{{6\choose 3}}{{11\choose 3}} + \frac{5}{12}\cdot \frac{{7\choose 3}}{{11\choose 3}} \approx 0,16.\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
PB3 = (7/12)*choose(6,3)/choose(11,3)+(5/12)*choose(7,3)/choose(11,3)
> PB3
[1] 0.1590909
Wykonując doświadczenie losowe możemy oczekiwać, że w około \(16\% \) ogólnej liczby jego wyników otrzymamy trzy białe kule.
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10384 razy
- Płeć: