n-kąt foremny prawdopodobieństwo.

[mosdef21]

Ze zbioru wszstkich wierzchołków \(n-\)kąta foremnego losujemy trzy różne wierzchołki i zakładamy że wszystkie wyniki losowania są jednakowo prawdopodobne. Wiedząc że liczba przekątnych tego wielokąta wynosi \(9\) oblicz prawdopodobieństwo, że wybrane losowe trzy wierzchołki wyznaczają trójkąt równoramienny lub rownoboczny.

[janusz55]

Zadanie

Musimy najpierw określić, co to za \( n -\) kąt formny?

Ze wzoru na liczbę przekątnych z równania:

\( \frac{n(n-3)}{2} = 9, \ \ n\in \nn_{\geq 3} \) - obliczamy \( n \) liczbę wierzchołków \( n - \) kąta foremnego.

Wykonujemy rysunek \( n- \) kąta foremnego

Znajdujemy zbiór \( \Omega \) - wszystkich trójkątów zawierający się w \( n - \) kącie

Określamy jego liczność \( |\Omega|. \)

Określamy zdarzenia sprzyjające \( A, \ \ B \) określające odpowiednio ilości trójkątów równoramiennych i równobocznych

zawartych w \( n-\) kącie.

Obliczamy ich liczności \( |A|, \ \ |B|.\)

Zakładając, że każdy z trójkątów ma taką możliwość być wylosowany - określamy prawdopodobieństwo sumy zdarzeń \( A, B \)

korzystając ze wzoru Laplace'a na prawdopodobieństwo zdarzenia.

[Jerry]

Wśród własności sześciokąta foremnego jest m.in.: ma dziewięć przekątnych.
\(\Omega\) jest zbiorem trzyelementowych kombinacji b/p zbioru sześcioelementowego,
\(|\Omega|={6\choose3}=20\)
Aby trójka wierzchołków wyznaczała trójkąt równoramienny, ale nie równoboczny, powinny to być trzy kolejne wierzchołki sześciokąta; dwie trójki wierzchołków wyznaczają trójkąty równoboczne.
\(|A|=6+2=8\)
Zakładając jednakowe prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych, z definicji Laplace'a:
\(p(A)={8\over20}={2\over5}\)

Pozdrawiam

[janusz55]

1.

\( \frac{n(n-3)}{2} = 9 \rightarrow n^2 -3n -18 = 0, \ \ n = 6 \in \nn_{\geq 3}.\)

Tym \( n - \) kątem foremnym jest sześciokąt foremny.

Doświadczenie losowe polega na losowym wyborze trzech z sześciu wierzchołków sześciokąta foremnego \( \overline{abcdef}. \)

Rys.

Zakładamy, że każda trójka wierzchołków jest jednoakowo możliwa do wylosowania.

Zbiór wszystkich możliwych zdarzeń:

\( \Omega =\{ \omega= (i,j,k): \ \ i,j,k \in \{a, b, c, d, e, f\} \wedge \Delta_{ijk} \ \ jest \ \ trójkątem \} \)

\( |\Omega| = {6\choose 3} = \frac{6\cdot 5\cdot 4}{1\cdot 2 \cdot 3} = 20.\)

Oznaczenie zdarzeń:

\( A \) "- trzy wybrane losowo wierzchołki tworzą trójkąt równoboczny".

\( B \) "- trzy wybrane losowo wierzchołki tworzą trójkąt równoramienny".

\( A =\{ \omega= (l,m,n): \ \ l,m,n \in \{a, b, c, d, e, f\} \wedge \Delta_{lmn} \ \ jest \ \ trójkątem \ \ równobocznym\} \)

\( |A| = 6.\)

\( B=\{ \omega= (o,p,r): \ \ o,p,r \in \{a, b, c, d, e, f\} \wedge \Delta_{opr} \ \ jest \ \ trójkątem \ \ równoramiennym\} \)

\(|B| = 2. \)

Stąd

\( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.\)

\( P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{62}{20} = \frac{1}{10}.\)

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.\)

Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa

W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że w \( 40 \%\) wszystkich możliwych jego wyników,
otrzymamy trójkąt równoboczny lub równoramienny.

Na marginesie: trójkątów prostokątnych w sześciokącie foremnym jest \( 12 \) po \( 4 \) trójkąty oparte na każdej
z \( 3 \) przekątnych głównych sześciokąta foremnego.