Nierówność

[janusz55]

Proszę udowodnić nierówność:

\( T(n): \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \ \ ... \ \ + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}, \ \ n\in \nn_{+} \)

Metoda indukcji zupełnej (dowód pochodzi od Alexy Godina):

\( T(1): \frac{1}{1} + \frac{1}{1+1} = \frac{3}{2}> 1.\)

\( T(n) \rightarrow T(n+1) \)

\( S_{n+1} - S_{n} = (\ \frac{1}{n+1} + \ \ ... \ \ + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2}) - ( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \ \ ... \ \ + \frac{1}{2n})-\frac{1}{n} = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} -\frac{1}{n}= \frac{2n+2+2n+1}{(2n+1)(2n+2} - \frac{1}{n} = \\ \)

\( = \frac{4n+3}{(2n+1)(2n+2)} - \frac{1}{n} = \frac{4n^2+3n - 4n^2-6n -2}{n(2n+1)(2n+2)} = \frac{-3n-2}{n(2n+1)(2n+2)} \rightarrow 0 \) (po wartościach mniejszych od zera).

Ciąg malejący.

Aby pokazać, że ta różnica \( S_{n+1} - S_{n}\) jest większa od liczby \( \frac{1}{2} \) zastąpimy ją różnicą liczb harmonicznych, wykorzystując ich równość asymptotyczną:

\( H_{2n} - H_{n-1} = ln(2n) + \nu +o(1) - (\ln(n) +\nu +o(1)) = \ln\left(\frac{2n}{n-1}\right) \rightarrow \ln(2) +o(1) > \frac{1}{2} \) gdy \( n\to \infty. \)
\( \Box\)

Dowód nieindukcyjny - wykorzystujący nierówność między średnią arytmetyczną i średnią harmoniczną:

\( S(n) = \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i+n} \geq n\cdot\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}(n+i)\right)^{-1} = n\cdot \left (\frac{1}{n} \sum_{0=1}^{n}n + \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} i \right)^{-1} = n\cdot \left(n +\frac{n+1}{2}\right)^{-1} =\frac{n}{n+\frac{n+1}{2}}= \\ \) \(= \frac{2n}{3n+1} \rightarrow \frac{2}{3}>\frac{1}{2},\) gdy \( n\rightarrow \infty.\)
\( \Box \)