Dowód inducyjny.

[Doni67]

Udowodnij prawdziwość nierówności stosując zasadę indukcji:
\( \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}\ dla\ n \in N_+\)

[Jerry]

Najistotniejszy fragment:
Z założenia
\( \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2}>0\)
Powinniśmy wywnioskować
\( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2}>0\)
i standardowo w dowodach indukcyjnych:
\(L_N=\color{green}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\color{blue}{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}-\frac{1}{2}\color{green}{-\frac{1}{n}}\nad{\text{z Z}}{>}0+\color{blue}{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\color{green}{-\frac{1}{n}}=\frac{-3n-2}{(2n+1)(2n+2)n}\)
ale to szacowanie jest "za grube"... dla tej prawdziwej nierówności, bo
\(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}>\underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}=\frac{n+1}{2n}>\frac{n}{2n}={1\over2}\)
Mnie się dowód indukcyjny nie udał

Pozdrawiam

[janusz55]

[Rozwiązanie niech zostanie jako ciekawostka - ale jest błędne.]

Spoiler

\( T(n): \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \ \ ... \ \ + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}, \ \ n\in \nn_{+}.\)

1) Zdanie \( T(1), \) czyli zdanie

\( \frac{1}{1} = 1 > \frac{1}{2} \)

jest zdaniem prawdziwym.

2) Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej \( k \) zdanie \( T(k) \) jest prawdziwe, to znaczy zachodzi równość

\( \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} + \ \ ... \ \ +\frac{1}{2k} < \frac{1}{2}\ \ (1) \) (jest to założenie indukcyjne)

Wykażemy, że zdanie \( T(k+1) \) jest również zdaniem prawdziwym, to znaczy, że zachodzi równość

\( T(k+1): \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} + \ \ ... \ \ \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+2} > \frac{1}{2} \ \ (2)\) (jest to teza indukcyjna)

Po dodaniu do obu stron nierówności \( (1) \) wyrażenie \( \frac{1}{2k+2} \) otrzymujemy nierówność:

\( \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} + \ \ ... \ \ \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+2} > \frac{1}{2}+ \frac{1}{2k+2} \)

Wystarczy sprawdzić, czy

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{2k+2} > \frac{1}{2} \ \ (3) \)

Jeśli do ułamka \( \frac{1}{2} \) dodamy ułamek większy od zera, to otrzymamy ułamek większy od \( \frac{1}{2} \)

Nierówność \( (3) \) jest więc prawdziwa.

Wykazaliśmy, że

1) Zdanie \( T(1) \) jest prawdziwe,

2) dla każdej liczby naturalnej \( k \) z prawdziwości zdania \( T(k) \) wynika prawdziwość zdania \(T(k+1).\)

Wobec tego spełnione są założenia twierdzenia o zasadzie indukcji zupełnej.

Zatem na podstawie tej zasady, dla każdego \( n\in \nn_{+} \) zdanie \( T(n) \) jest prawdziwe, co należało wykazać.

[Jerry]

1) Zdanie \( T(1), \) czyli zdanie : \( \frac{1}{1} = 1 > \frac{1}{2} \) ...

Wg mnie powinno być: \({1\over1}+{1\over2}={3\over2}>{1\over2}\)
a potem jest jeszcze ciekawiej...

Pozdrawiam

[Doni67]

ale to szacowanie jest "za grube"... dla tej prawdziwej nierówności, bo
\(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}>\underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}=\frac{n+1}{2n}>\frac{n}{2n}={1\over2}\)


Pozdrawiam

Tego fragmentu nie rozumiem mógłbyś objaśnić bo nie wiem dlaczego po prawej stronie jest ciąg wyrazów \( \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n} \)?

[Icanseepeace]

Aby udowodnić twoją nierówność za pomocą indukcji najprościej jest udowodnić nierówność od niej silniejszą:
\( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \)
Dowód jest prosty i bazuje na tych samych zasadach na których dowód użytkownika Jerry z \( 20:14\)
Edit:
Oczywiście od \( n \geq 2 \).

[Jerry]

Zachodzi
\[+\underline{\begin{cases}{1\over n}>{1\over2n}\\{1\over n+1}>{1\over2n}\\ \ldots\\{1\over 2n-1}>{1\over2n}\\{1\over 2n}={1\over2n}\end{cases}}\\ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}\]
Pozdrawiam

[Doni67]

A dlaczego tam jest \((n+1)\) składników i skąd ci wyszło że ten pierwszy ciąg jest równy \(\frac{n+1}{2n}\)? I dlaczego to szacowanie jest "za grube"?

[Doni67]

Aby udowodnić twoją nierówność za pomocą indukcji najprościej jest udowodnić nierówność od niej silniejszą:
\( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \)
Dowód jest prosty i bazuje na tych samych zasadach na których dowód użytkownika Jerry z \( 20:14\)
Edit:
Oczywiście od \( n \geq 2 \).

Dlaczego ta nierówność jest silniejsza? A nie można udowodnić tej nierówności w takiej formie jaka jest podana?
Dlaczego od \(n\geq 2\)?

[Jerry]

A dlaczego tam jest \((n+1)\) składników i skąd ci wyszło że ten pierwszy ciąg jest równy \(\frac{n+1}{2n}\)? I dlaczego to szacowanie jest "za grube"?

1. Mianowników/ułamków od \(1\) do \(2n\) jest \(2n\), ale z mianowników/ułamków od \(1\) do \(n-1\) rezygnujemy, czyli zostało \(2n-(n-1)=n+1\) mianowników/ułamków,
2. \((n+1)\cdot{1\over2n}={n+1\over2n}\),
3. w efekcie szacowania otrzymaliśmy liczbę ujemną! Jeśli liczba \(a\) jest większa od liczby ujemnej, to niekoniecznie \(a\) jest dodatnie.

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Aby udowodnić twoją nierówność za pomocą indukcji najprościej jest udowodnić nierówność od niej silniejszą:
\( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \)
Dowód jest prosty i bazuje na tych samych zasadach na których dowód użytkownika Jerry z \( 20:14\)
Edit:
Oczywiście od \( n \geq 2 \).

Dlaczego ta nierówność jest silniejsza? A nie można udowodnić tej nierówności w takiej formie jaka jest podana?
Dlaczego od \(n\geq 2\)?

Silniejsza ponieważ ograniczenie wyrażenia od dołu przez \( \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \) jest dokładniejsze niż ograniczenie przez \( \frac{1}{2} \).
Nie można patrz post Jerry z 20:14
Dla \( n = 1 \) nierówność zaproponowana przeze mnie nie zachodzi. Dlatego startujemy od \( n = 2 \)

[Doni67]

A dlaczego z tych ułamków rezygnujemy? I dlaczego tam jest \(n+1\) składników?