wzory Vieta

[inter]

Niech \(x^2 + x -m(m+1)(m^2 +1)=0 (m \in N-\{0\})\) ma dwa rozwiązania \(x_1 , x_2\) będące liczbami całkowitymi.
Wykaż że \(x_1^2 + x_2^2 -x_1x_2\) jest iloczynem dwóch liczb pierwszych.

[janusz55]

Ze wzorów F. Viet'e wynika, że suma rozwiązań równania \( x_{1} +x_{2} = \frac{-b}{a} = -1 \in \zz. \)

Iloczyn rozwiązań \( x_{1}\cdot x_{2} = \frac{c}{a} = -m(m+1)(m^2+1) \in \zz \)

[eresh]

Ze wzorów F. Viet'e wynika, że suma rozwiązań równania \( x_{1} +x_{2} = \frac{-b}{a} = -\frac{1}{2}\notin \zz. \)

Skąd Pan wziął to zadanie?

Ale \(\frac{-b}{a}=-1\)

[janusz55]

Tak już poprawiłem.

[janusz55]

\( x^2_{1}+x^2 _{2} -x_{1}\cdot x_{2} = x^2_{1} + x^2_{2} +2x_{1}x_{2} -3x_{1}\cdot x_{2} = (x_{1}+x_{2})^2- 3x_{1}\cdot x_{2} \)

\( 1^2 + 3m(m-1)(m^2+1) = 1 + 3m(m-1)(m^2+1) \in \zz. \)

Mamy wykazać, że \( (-1)^2 +3m(m+1)(m^2+1) = 1 + 3m(m+1)(m^2+1) \) jest iloczynem dwóch liczb pierwszych \( p_{1}\cdot p_{2}.\)

\( m=1:\)

\( 1 +3\cdot 1\cdot 2 \cdot 2 = 1+12 = 13. \)

\( m=2: \)

\( 1 + 3\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 1+ 90 = 91. \)

\( m=3:\)

\( 1 + 3\cdot 3 \cdot 4 \cdot 10 = 1 + 360 = 361. \)

Czy każdą z tych liczb można przedstawić jako iloczyn dwóch liczb pierwszych ? Nie!

[inter]

Chyba się da 7*13=91

[eresh]

Ale dla \(m=1\) równanie nie ma pierwiastków całkowitych

[Luiza2]

A jak to obliczyłaś?

[eresh]

podstawiłam do równania

[Luiza2]

A jak sprawdzić dla jakich m są pierwiastki całkowite?

[janusz55]

Powinno być:

Dla \(m\in \nn \setminus \{0, 1\}. \)

Wyrażenie \( 1 +3m(m+1)(m^2 +1) = p_{1}\cdot p_{2} \) jest iloczynem dwóch liczb pierwszych.

Dowód (nie wprost)

Załóżmy, że to wyrażenie nie jest iloczynem dwóch liczb pierwszych.

Wtedy wyrażenie:

\(1 +3m(m+1)(m^2 +1) = p'_{1} \cdot p'_{2} +1 \) jest iloczynem dwóch liczb pierwszych lub wyrażeniem złożonym.

Stąd

\( 3m(m+1)(m^2 +1) \) jest iloczynem \( p'_{1}\cdot p'_{2} \)

A to jest nieprawda.

Aby się o tym przekonać, zastosujmy indukcję względem \( \zz \in m\geq 2.\)

\( m = 2: \ \ 3\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 90 \) - prawda.

\( m \rightarrow m+1 \)

\( 3m(m+1)(m^2+1) \rightarrow 3(m+1)(m+2)[(m+1)^2 +1] \)

Wykażemy, że następnik tej implikacji jest zdaniem prawdziwym:

\( 3(m+1)(m+2)[(m+1)^2+1] = 3(m^2+2m+m +2)(m^2+2m+2)= \)
\(= 3(m^4 +2m^3 +2m^2 +2m^3 +4m^2 +4m +m^3 +2m^2+2m+2m^2+4m+4) =\)
\( = 3(m^4 +5m^3 +10m^2 +10m +4) = 3[ (m^4 +m^3m^2+m)+ (4m^3+9m^2+9m+4)]_= \)
\( = 3m(m+1)(m^2+1) +3(4m^3 +9m^2 +9m+4) = 3m(m+1)(m^2+1) + 3[4m^3+9m(m+1)+4].\)

Otrzymaliśmy sumę dwóch wielomianów generujących liczby złożone (pierwszy na podstawie założenia indukcyjnego, drugi jako suma trzech składników generujących liczby złożone).

\( \Box \)

[inter]

Można też z delty wykazać że
\(m>2, (2m^2+m)^2=4m^4+4m^3+m^2<4m^4+4m^3+4m^2+4m+1<(2m^2+m+1)^2=4m^4+4m^3+5m^2+2m+1\)
Zatem wystarczy sprawdzian m=1 lub m=2 i koniec

[janusz55]

Mieliśmy wykazać, dla \( m\in \nn \setminus \{0,1\}. \)