Funkcja trygonometryczna

[peresbmw]

Dana jest funkcja \(f(x) =3+\sin(x+ \frac{ \pi }{6 })\)
Ocen prawdziwość zdań
a) w przedziale \(< \frac{-5 \pi }{3} ; \frac{-2 \pi }{3} >\) funkcja jest malejąca
B) prosta \(x=- \frac{7 \pi }{3}\) jest osią symetrii wykresu tej funkcji.
Proszę o pomoc jak to sprawdzić i które jest poprawne.

[eresh]

Dana jest funkcja \(f(x) =3+sin(x+ \frac{ \pi }{6 })\)
Ocen prawdziwość zdań
a) w przedziale \(< \frac{-5 \pi }{3} ; \frac{-2 \pi }{3} >\) funkcja jest malejąca
B) prosta \(x=- \frac{7 \pi }{3}\) jest osią symetri wykresu tej funkcji.
Proszę o pomoc jak to sprawdzić i które jest poprawne.

\(\sin x\) maleje w przedziałach \([\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi], k\in\mathbb{Z}\)
\(3+\sin (x+\frac{\pi}{6})\) rośnie w przedziałach \([\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+2k\pi]=[\frac{\pi}{3}+2k\pi, \frac{4\pi}{3}+2k\pi]\), czyli również w przedziale \([-\frac{5\pi}{3},-\frac{2\pi}{3}]\)

[eresh]

Dana jest funkcja \(f(x) =3+sin(x+ \frac{ \pi }{6 })\)
Ocen prawdziwość zdań

B) prosta \(x=- \frac{7 \pi }{3}\) jest osią symetri wykresu tej funkcji.
Proszę o pomoc jak to sprawdzić i które jest poprawne.

osią symetrii wykresy \(y=\sin x\) są proste o równaniach \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
osią symetrii wykresy \(3+\sin(x+ \frac{ \pi }{6 })\) są proste o równaniach \(x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+k\pi\), czyli \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)

sprawdźmy, czy istnieje całkowite \(k\), dla którego
\(-\frac{7\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+k\pi\\
-\frac{8}{3}=k
-\frac{8}{3}\notin\mathbb{Z}\)
zatem prosta nie jest osią symetrii