Jak uprościć tę całkę:
\[\int_0^\infty x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x\]
Redukcja całki
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: Redukcja całki
Możesz użyć podstawienia i zobaczyć, że funkcja \(\Gamma\) pojawia się od razu. Całkowanie przez części miesza sprawę, ponieważ definiujemy czynniki dla liczb całkowitych przez iterowane mnożenie, więc z każdą liczbą niecałkowitą będziesz miał problemy, więc lepiej użyć \(\Gamma\) bezpośrednio:
\[ax = u\]
\[\frac{1}{{{a^{n + 1}}}}\int\limits_0^\infty {{u^n}{e^{ - u}}dx} = \frac{{\Gamma \left( {n + 1} \right)}}{{{a^{n + 1}}}}\]
Pozdrawiam
\[ax = u\]
\[\frac{1}{{{a^{n + 1}}}}\int\limits_0^\infty {{u^n}{e^{ - u}}dx} = \frac{{\Gamma \left( {n + 1} \right)}}{{{a^{n + 1}}}}\]
Pozdrawiam
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 
.
\(e^{i\pi}+1=0\)
.\(e^{i\pi}+1=0\)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Redukcja całki
\( \int_{0}^{\infty} x^{n}\cdot e^{-ax}dx \)
Przekształcamy funkcję podcałkową \( f(x) = x^{n}\cdot e^{-ax} \) do postaci wygodnej dla metody całkowania przez części:
\( f(x) = x^{n}e^{-ax}= \frac{a^{n+1}}{a^{n+1}}x^{n}\cdot e^{-ax} = \frac{a^{n}\cdot a}{a^{n+1}}\cdot x^{n}\cdot e^{-ax} = \frac{(ax)^{n}\cdot e^{-ax} \cdot a}{a^{n+1}}.\)
\( \frac{1}{a_{n+1}} \int_{0}^{\infty}(ax)^{n}\cdot e^{-ax} a\cdot dx \)
Stosujemy podstawienia:
\( u:= ax, \ \ du = a\cdot dx, \ \ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & \infty \\ \hline u & 0 & \infty \\ \hline \end{array} \)
Otrzymaliśmy całkę
\( \frac{1}{a^{n+1}} \int_{0}^{\infty} u^{n}\cdot e^{-u}du, \)
którą obliczymy (zredukujemy), stosując kolejno metodę całkowania przez części:
\( \frac{1}{a^{n+1}} \int_{0}^{\infty} u^{n}\cdot e^{-u}du = \frac{1}{a_{n+1}} \int_{0}^{\infty} u^{n}(-e^{-u})^{'} du = \)
\( =\frac{1}{a^{n+1}} \left (\lim_{u \to \infty} \left(\frac{-u^{n}}{e^{u}} \right) + \int_{0}^{\infty} n\cdot u^{n-1}\cdot e^{-u}du \right) \)
Granica \( \lim_{u \to \infty}\frac{-u^{n}}{e^{u}} = 0 \) ( np. z Reguły G. de Hospitala)
Przeprowadzając kolejne obliczenia całki metodą całkowania przez części, otrzymujemy:
\( \frac{1}{a_{n+1}} \int_{0}^{\infty} u^{n}e^{-u}du = \frac{1}{a_{n+1}}\cdot n\cdot (n-1)\int_{0}^{\infty}u^{n-2}e^{-u}du =\)
\( = \frac{1}{a_{n+1}} \cdot n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \int_{0}^{\infty} u^{n-3}e^{-u}du = \)
\( = \frac{1}{a_{n+1}} \cdot n\cdot(n-1)\cdot (n-2)\cdot \ \ ... \ \ \cdot 2\cdot\int_{0}^{\infty}1\cdot e^{-u} du = \frac{1}{a_{n+1}}\cdot n \cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdot \ \ ... \ \ \cdot 2\cdot 1 = \frac{1}{a_{n+1}} \cdot n!.\)
Otrzymaliśmy równość
\( \int_{0}^{\infty} x^{n}\cdot e^{-ax}dx = \frac{n!}{a_{n+1}}. \)
Przekształcamy funkcję podcałkową \( f(x) = x^{n}\cdot e^{-ax} \) do postaci wygodnej dla metody całkowania przez części:
\( f(x) = x^{n}e^{-ax}= \frac{a^{n+1}}{a^{n+1}}x^{n}\cdot e^{-ax} = \frac{a^{n}\cdot a}{a^{n+1}}\cdot x^{n}\cdot e^{-ax} = \frac{(ax)^{n}\cdot e^{-ax} \cdot a}{a^{n+1}}.\)
\( \frac{1}{a_{n+1}} \int_{0}^{\infty}(ax)^{n}\cdot e^{-ax} a\cdot dx \)
Stosujemy podstawienia:
\( u:= ax, \ \ du = a\cdot dx, \ \ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & \infty \\ \hline u & 0 & \infty \\ \hline \end{array} \)
Otrzymaliśmy całkę
\( \frac{1}{a^{n+1}} \int_{0}^{\infty} u^{n}\cdot e^{-u}du, \)
którą obliczymy (zredukujemy), stosując kolejno metodę całkowania przez części:
\( \frac{1}{a^{n+1}} \int_{0}^{\infty} u^{n}\cdot e^{-u}du = \frac{1}{a_{n+1}} \int_{0}^{\infty} u^{n}(-e^{-u})^{'} du = \)
\( =\frac{1}{a^{n+1}} \left (\lim_{u \to \infty} \left(\frac{-u^{n}}{e^{u}} \right) + \int_{0}^{\infty} n\cdot u^{n-1}\cdot e^{-u}du \right) \)
Granica \( \lim_{u \to \infty}\frac{-u^{n}}{e^{u}} = 0 \) ( np. z Reguły G. de Hospitala)
Przeprowadzając kolejne obliczenia całki metodą całkowania przez części, otrzymujemy:
\( \frac{1}{a_{n+1}} \int_{0}^{\infty} u^{n}e^{-u}du = \frac{1}{a_{n+1}}\cdot n\cdot (n-1)\int_{0}^{\infty}u^{n-2}e^{-u}du =\)
\( = \frac{1}{a_{n+1}} \cdot n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \int_{0}^{\infty} u^{n-3}e^{-u}du = \)
\( = \frac{1}{a_{n+1}} \cdot n\cdot(n-1)\cdot (n-2)\cdot \ \ ... \ \ \cdot 2\cdot\int_{0}^{\infty}1\cdot e^{-u} du = \frac{1}{a_{n+1}}\cdot n \cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdot \ \ ... \ \ \cdot 2\cdot 1 = \frac{1}{a_{n+1}} \cdot n!.\)
Otrzymaliśmy równość
\( \int_{0}^{\infty} x^{n}\cdot e^{-ax}dx = \frac{n!}{a_{n+1}}. \)