równanie z paramatrem

[inter]

Dane jest równanie \(m^2x^3 − (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=0\). Znaleźć takie wartości parametru m ∊ Z (liczby całkowite), dla których nieujemne rozwiązania równania są liczbami całkowitymi.

[kerajs]

1) Dla \(m=0\) jedynym rozwiązaniem jest \(x=0\), więc \(m=0\) spełnia warunki zadania
2) dla pozostałych \(m\) mam
\(x=0\) lub \(m^2x^2-m(m+6)x+(m+6)=0\)
więc na rozwiązanie wpływa jedynie równanie kwadratowe.
\(\Delta =m^2(m+2)(m+6)\)
a) dla ujemnego wyróżnika jedyne rozwiązanie jest z równania x=0, więc każdy całkowity m dla którego \(\Delta <0\) spełnia warunki zadania. Ergo, \(m \in \left\{ -5,-4,-3\right\}\)
b) dla m=-2 równanie kwadratowe ma postać: \(4x^2+8x+4=0 \) , więc nie posiada nieujemnych rozwiązań. m=-2 spełnia warunki zadania ze względu na równanie x=0.
dla m=-6 równanie kwadratowe ma postać: \(36x^2=0 \) ,a jego rozwiązanie x=0 jest całkowite. m=-6 spełnia warunki zadania
c) pierwiastek z dodatniej delty to \( \sqrt{ \Delta }=|m| \sqrt{(m+4)^2-4} \)
Aby mieć szansę na rozwiązanie całkowite (a nawet wymierne) to wyrażenie podpierwiastkowe musi być kwadratem. Jedyne dwa kwadraty różniące się o 4 to: 0 i 4, co sprowadza się do rozwiązanych powyżej przypadków: m=-2 i m=-6 (nb, dla tych wartości wyróżnik nie jest dodatni). Wniosek: tu brak m-ów spełniających warunki zadania.

Odp: \(m \in \left\{ -6,-5,-4,-3, -2, 0\right\}\)

[Jerry]

Wg mnie istnieje jeszcze jedna wartość parametru:

• Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, oba ujemne, dla \(m\in(-2;0)\).

Zatem \(m=-1\) również spełnia warunki zadania!

Pozdrawiam

[Luiza2]

2) dla pozostałych \(m\) mam
\(x=0\) lub \(m^2x^2-m(m+6)x+(m+6)=0\)
więc na rozwiązanie wpływa jedynie równanie kwadratowe.
\(\Delta =m^2(m+2)(m+6)\)
a) dla ujemnego wyróżnika jedyne rozwiązanie jest z równania x=0, więc każdy całkowity m dla którego \(\Delta <0\) spełnia warunki zadania. Ergo, \(m \in \left\{ -5,-4,-3\right\}\)

Możesz to wytłumaczyć bo nie wiem skąd się to wszystko wzięło?

[nijak]

Znasz może wzór na wyróżnik równania sześciennego i radzisz sobie ze sporządzaniem wykresów wielomianu? Jeśli tak to pokaże znacznie krótszą metodę.

[Luiza2]

Wiem coś tam.

[kerajs]

Wg mnie istnieje jeszcze jedna wartość parametru:

• Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, oba ujemne, dla \(m\in(-2;0)\).

Zatem \(m=-1\) również spełnia warunki zadania!

Słusznie. Chyba zbyt skupiłem się na całkowitości rozwiązań i przegapiłem tę możliwość. Sorry.

Możesz to wytłumaczyć bo nie wiem skąd się to wszystko wzięło?

Skoro nijak przedstawi krótsze i łatwiejsze rozwiązanie, to nie ma sensu tego tłumaczyć.

PS
A sądziłem, że dość wyczerpująco przedstawiłem rozwiązanie.

[nijak]

Wyróżnik wielomianu stopnia 3
\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)
\(\Delta_3(a,b,c,d) = -27a^2d^2 + 18abcd - 4ac^3 - 4b^3d + b^2c^2\)

Zgodnie z definicją wyróżnik tego wielomianu będzie równy- \(\Delta_x=m^2(m+2)(m+6)^3\). Tutaj jest wykres.

Tutaj ważna informacja na przyszłość:
Liczba i rodzaj pierwiastków równania sześciennego a wartość wyróżnika:

• \(D(f)>0\), \(3\) różne pierwiastki rzeczywiste.

• \(D(f)=0\), \(2\) różne pierwiastki rzeczywiste w tym jeden dwukrotny lub 1 pierwiastek rzeczywisty trzykrotny.

• \(D(f)<0\), \(1\) pierwiastek rzeczywisty i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych.

Działamy w przedziale \([-6;0]\), więc

1. \(\Delta_x<0\), co prowadzi do tego, że \(m \in \left\{ -5,-4,-3\right\}\)

• \(\Delta_x=0\), co prowadzi do tego, że \(m \in \left\{ -6,-2,0\right\}\)

• \(\Delta_x>0\) co prowadzi do tego, że \(m \in \left\{ -1\right\}\)

Tutaj mamy jednak pułapkę. W treści zadania jest podane- Znaleźć takie wartości parametru \(m \in \zz\), dla których nieujemne rozwiązania równania są liczbami całkowitymi. Zauważ że dla parametru \(m=-2\), rozwiązanie jest oczywiście liczbą całkowitą ale ujemną, więc wyrzucamy.

Ostateczną odpowiedzią jest, że \(m \in \left\{ -6,-5,-4,-3,0\right\}\).

Pozdrawiam

[Luiza2]

Kerajs proszę Cię wytłumacz ten fragment twojego rozwiązania, które zacytowałam. I dlaczego tam jest błąd z tym \(m=-2\)?

[janusz55]

\( m\in \{-6, -5, -4, -3, -1, 0 \} \)

[nijak]

Dzięki za korektę.

[inter]

Dla m=-2, rozwiązaniami są liczby x=0 i x=-1. Zatem patrzymy na nieujemne rozwiązanie a jest nim 0, więc m=-2 też spełnia warunki zadania. Czy ktoś może to potwierdzić?

[janusz55]

Wstaw \( m= -2 \) do równania i sprawdź rozwiązując to równanie.

[inter]

\(4 x (x + 1)^2 = 0\), wiec \(x=0\) i \(x=-1\). Jest ok?

[Jerry]

\(4 x (x + 1)^2 = 0\), wiec \(x=0\) i \(x=-1\). Jest ok?

Wg mnie i kerajsa - tak!

Pozdrawiam