Rachunek prawdopodobieństwa

[Dornie]

Ze zbioru liczb:
\( C =\{-2n-5,-2n-3,-2n-1,...,-3,-1,0,1,3,...,2n+1,2n+3,2n+5\}\)

gdzie \(n\) jest ustaloną liczbą naturalną większą niż \(3\), losujemy jednocześnie trzy liczby. Niech \(A\) oznacza zdarzenie: wylosowano trzy liczby, których suma się nie zmieni po zmianie znaków tych liczb na przeciwne.

Oblicz \(n\), wiedząc, że prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe \(\frac{1}{225}\).

[Jerry]

Dany zbiór ma \(2n+7\) elementów, w tym \(2n+6\) liczb nieparzystych, w tym \(n+3\) liczb dodatnich, gdzie \(n\in\zz\wedge n>3\)

\(\Omega\) jest zbiorem 3-elementowych kombinacji b/p ze zbioru \(C\).
\[|\Omega|={2n+7\choose 3}=\frac{(2n+7)(2n+6)(2n+5)}{1\cdot2\cdot3}\]
Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu liczb \(a,\ b,\ c\) takich, że
\[a+b+c=-a-b-c\iff a+b+c=0\]
Ponieważ prawie wszystkie elementy zbioru \(C\) są nieparzyste, jedną z wylosowanych liczb musi być \(0\), pozostałe muszą być przeciwne (suma trzech liczb nieparzystych jest nieparzysta, w szczególności rózna od zera!).
\[|A|={1\choose1}\cdot{n+3\choose1}\cdot1=n+3\]
Zakładając jednakowe prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych, z definicji Laplace'a:
\[p(A)=\frac{n+3}{\frac{(2n+7)(2n+6)(2n+5)}{1\cdot2\cdot3}}=\frac{3}{(2n+7)(2n+5)}\]
\[p(A)=\frac{1}{225}\iff\left((2n+7)(2n+5)=27\cdot25\wedge n\in\zz\wedge n>3\right)\\
n=10\]

Pozdrawiam

[Luiza2]

A jak obliczyłeś, że ten zbiór posiada \(2n+7\) elementów w tym...?
Proszę o rozpisanie.

[eresh]

A jak obliczyłeś, że ten zbiór posiada \(2n+7\) elementów w tym...?
Proszę o rozpisanie.

Można za pomocą ciągu arytmetycznego:

\(a_1=-2n-5\\
a_k=2n+5\\
r=2\\
a_k=a_1+(k-1)r\\
2n+5=-2n-5+(k-1)2\\
4n+10=2(k-1)\\
2n+5=k-1\\
2n+6=k\)
w zbiorze \(\{-2n-5, -2n-3, ..., -3,-1,1,3,..., 2n+5\}\) jest \(2n+6\) elementów, dodajemy zero - mamy \(2n+7\) liczb

[Luiza2]

w tym \(2n+6\) liczb nieparzystych, w tym \(n+3\) liczb dodatnich, gdzie \(n\in\zz\wedge n>3\)

A tutaj jakim sposobem do tego dojść?

[eresh]

A tutaj jakim sposobem do tego dojść?

w zbiorze \(\{-2n-5, -2n-3, ..., -3,-1,1,3,..., 2n+5\}\) są same liczby nieparzyste, jest ich \(2n+6\), a połowa z nich jest dodatnia, czyli \(n+3\)

[Luiza2]

A jak obliczyłeś, że ten zbiór posiada \(2n+7\) elementów w tym...?
Proszę o rozpisanie.

Można za pomocą ciągu arytmetycznego:

\(a_1=-2n-5\\
a_k=2n+5\\
r=2\\
a_k=a_1+(k-1)r\\
2n+5=-2n-5+(k-1)2\\
4n+10=2(k-1)\\
2n+5=k-1\\
2n+6=k\)
w zbiorze \(\{-2n-5, -2n-3, ..., -3,-1,1,3,..., 2n+5\}\) jest \(2n+6\) elementów, dodajemy zero - mamy \(2n+7\) liczb

A dlaczego dodajemy zero?

[eresh]

A dlaczego dodajemy zero?

Bo jest w podanym w treści zadania zbiorze

[Luiza2]

\(\Omega\) jest zbiorem 3-elementowych kombinacji b/p ze zbioru \(C\).
\[|\Omega|={2n+7\choose 3}=\frac{(2n+7)(2n+6)(2n+5)}{1\cdot2\cdot3}\]

A to jakim sposobem jest obliczone?

[nijak]

Zgodnie z definicją:
\(n!= \begin{cases}1 \ \mbox{dla }n=0 \\ \color{red} {n\cdot(n-1)! \ \mbox{dla }n \geq 1 }\end{cases} \)

Rozłóż na najprostsze czynniki ten symbol Newtona korzystając z definicji, którą zaznaczyłem i poskracaj najbrutalniej jak możesz i zobaczysz dlaczego tak jest.

Pozdrawiam

[eresh]

\(\Omega\) jest zbiorem 3-elementowych kombinacji b/p ze zbioru \(C\).
\[|\Omega|={2n+7\choose 3}=\frac{(2n+7)(2n+6)(2n+5)}{1\cdot2\cdot3}\]

A to jakim sposobem jest obliczone?

\({2n+7\choose 3}=\frac{(2n+7)!}{(2n+7-3)!\cdot 3!}=\frac{(2n+7)!}{(2n+4)!\cdot 3!}=\frac{(2n+4)!(2n+5)(2n+6)(2n+7)}{(2n+4)!\cdot 3!}=\frac{(2n+5)(2n+6)(2n+7)}{1\cdot 2\cdot 3}\)