Optymalizacja

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
janiezadenziutek
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 28 mar 2023, 20:12
Podziękowania: 3 razy

Optymalizacja

Post autor: janiezadenziutek »

Opakowania wybielacza do tkanin mają kształt prostopadłościanu. Na podstawie opinii użytkowników ustalono, że opakowania będą wygodniejsze, jeśli jedna z krawędzi prostopadłościanu będzie 3 razy dłuższa od drugiej. Firma produkująca wybielacz ustaliła cenę 1 \(cm^3\) wyrobu na 20 groszy. Koszt 1 \(cm^2\) opakowania wynosi 2 grosze.
a)Ustalono, że wybielacz będzie sprzedawany w opakowaniach o pojemności 36 \(cm^3\) . Dobierz wymiary opakowania tak, aby łączna cena wybielacza i opakowania była możliwie najniższa.
b) Z badań rynku wynika, że produkt byłby chętniej kupowany, gdyby opakowanie zawierało przynajmniej o połowę mniej wybielacza. Ustalono, że najkrótsza krawędź nowego opakowania będzie miała długość 1,5cm. Jaka będzie najniższa cena nowej jednostki wyrobu(tzn. wybielacza i opakowania łącznie)?

Widziałem podobne zadanie na forum ale niestety nie mogę korzystać z metody mnożników Lagrange'a. Nie wiem jak się za to zabrać bo to zadanie znacznie różni się od tych optymalizacyjnych, które robiłem.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1327
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 373 razy

Re: Optymalizacja

Post autor: janusz55 »

Cena opakowania wybielacza będzie najmiejsza, gdy na wykonanie pudełka zużyje się jak najmniej materiału.
(b)
Małe pudełko ma pojemność \( 18 \ \ cm^3,\) a jego najkrótsza krawędź ma długość \( 1,5 \ \ cm.\)

Możliwe są dwa warianty:

\( (1) \)
Prostopadłościan o wymiarach podstawy \( x \ \ [cm]\times 1,5 cm ,\) gdzie \( x>0 \) i wysokości \( 4,5 cm.\)

Objętość \( v_{1} = x\cdot 1,5 \cdot 4,5 = 18. \)

Stąd

\( x = 2\frac{2}{3} \ \ cm. \)

Zatem pudełko ma wymiary \( 2\frac{2}{3} \ \ cm \cdot 1\frac{1}{2}\ \ cm \cdot 4\frac{1}{2}. \)

Jego pole powierzchni

\(P_{1} = 2\cdot 2\frac{2}{3}\cdot 1\frac{1}{2} + 2\cdot 2\frac{2}{3}\cdot 4\frac{1}{2}+ 2\cdot 1\frac{1}{2}\cdot 4\frac{1}{2} = 2\left( \frac{8}{3}\cdot \frac{3}{2} + \frac{8}{3}\cdot \frac{9}{2} + \frac{3}{2}\cdot \frac{9}{2}\right) = 2\left( 4+12+\frac{27}{4}\right) = 2\cdot 22\frac{3}{4} = 45\frac{1}{2}cm^2.\)

\( (2) \)
Prostopadłościan o wymiarach podstawy \( 1,5 cm \times y \ \ [cm], \) gdzie \( y>0 \) oraz wysokości \( 3y \ \ [cm] \) cm.

Wtedy objętość \( v_{2} = y\cdot 1,5 \cdot 3y = 18\)

Stąd

\( y= 2 \ \ cm. \)

Pudełko ma wymiary \( 2 \ \ cm \cdot 1,5 \ \ cm \cdot 6 \ \ cm . \)

Jego pole powierzchni

\( P_{2} = 2( 2\cdot 1,5 + 2\cdot 6 +2\cdot 1,5\cdot 6) \ \ cm^2 = 2(3 + 12 + 9 \ \ cm^2 = 48 \ \ cm^2.\)

(a)
Duże pudełko ma pojemność \( V = 36 \ \ cm^3 \)

Z treści zadania:

\( x\cdot y \cdot 3x = 36, \ \ x>0. \)

\( x^2\cdot y = 12 \)

\( y = \frac{12}{x^2}\)

\( P(x) = 2\left( x\cdot \frac{12}{x^2} + x\cdot 3x + \frac{12}{x^2}\cdot 3x \right) = 2 \left(\frac{12}{x}+3x^2 +\frac{36}{x}\right) = 2\left (\frac{48}{x} + 3x^2\right) = \)
\( = 6\left( \frac{16}{x} +x^2 \right).\)

Znajdujemy minimum lokalne funkcji \( P(x).\)

\( P'(x) = 6\left( -\frac{16}{x^2} + 2x\right) = 0 \)

\( \frac{-16 + 2x^3}{x^2} = 0, \ \ -16 +2x^3 = 0 , \ \ x^{*} = 2 cm, \)

\( sign \ \ P'(x) = sign \ \ 2\cdot (-8 + x^3)= sign \ \ 2\cdot ( -2+x)(4+ 2x +x^2) \)

Dla \( x\in (0, 2) \ \ P'(x) < 0 \) dla \( x >2 \ \ P'(x) > 0 \)

\( P_{min.lok} = P(2). \)

Wymiary dużego pudełka:

\( 2 \ \ cm\times 3 \ \ cm \times 6 \ \ cm.\)

\( P(2) = 6\left(\frac{16}{2}+ 2^2\right) = 6( 8+4)cm^2 = 72 \ \ cm^2. \)

Odpowiedź
(a)
Wybielacz w opakowaniu o wymiarach \( 2cm \times 3cm \times 6cm \) kosztuje

\( 36\cdot 20 \ \ groszy + 72\cdot 2 \ \ grosze = 864 grosze = 8,64 \ \ zł.\)

(b)
Wybielacz w opakowaniu o wymiarach \( 2\frac{2}{3}cm \times 1\frac{1}{2}cm \times 4\frac{1}{2}cm \) kosztuje

\( 18 \cdot 20 \ \ groszy + 45,5\cdot 2 \ \ grosze = 360 \ \ groszy + 91 \ \ groszy = 451 \ \ groszy = 4,51 \ \ zł.\)