Czy istnieje nieskończony ciąg?
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Czy istnieje nieskończony ciąg?
Czy istnieje nieskończony ciąg liczb naturalnych \(a_1, a_2, a_3, . . . \) spełniający równanie
\( \frac{1}{a_n}= \frac{1}{a_{n+1}}+ \frac{1}{a_{n+2}} \)
\( \frac{1}{a_n}= \frac{1}{a_{n+1}}+ \frac{1}{a_{n+2}} \)
-
- Fachowiec
- Posty: 1588
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 418 razy
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
Niech \( a_{n} = n, \ \ a_{n+1} = n+1, \ \ a_{n+2} = n+2. \)
Czy równanie:
\( \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \) ma rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych \( n \in \nn ?\)
\( \frac{1}{n} = \frac{n+2+ n+1}{(n+1)\cdot (n+2)}, \)
\( \frac{1}{n} = \frac{2n+3}{(n+1)\cdot (n+2)}, \)
\( n = \frac{(n+1)\cdot(n+2)}{2n +3}, \)
\( 2n^2 +3n = (n+1)\cdot (n+2) = n^2 +2n +n + 2, \)
\( n^2 -2 = (n + \sqrt{2})\cdot (n-\sqrt{2}) = 0, \)
\( n_{1} = -\sqrt{2} \notin \nn \) i \( n_{2}= \sqrt{2} \notin \nn. \)
Odpowiedź: taki ciąg liczb naturalnych nie istnieje.
Czy równanie:
\( \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \) ma rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych \( n \in \nn ?\)
\( \frac{1}{n} = \frac{n+2+ n+1}{(n+1)\cdot (n+2)}, \)
\( \frac{1}{n} = \frac{2n+3}{(n+1)\cdot (n+2)}, \)
\( n = \frac{(n+1)\cdot(n+2)}{2n +3}, \)
\( 2n^2 +3n = (n+1)\cdot (n+2) = n^2 +2n +n + 2, \)
\( n^2 -2 = (n + \sqrt{2})\cdot (n-\sqrt{2}) = 0, \)
\( n_{1} = -\sqrt{2} \notin \nn \) i \( n_{2}= \sqrt{2} \notin \nn. \)
Odpowiedź: taki ciąg liczb naturalnych nie istnieje.
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
A dlaczego przyjął Pan za \(a_n=n\), \(a_{n+1}\), \(a_{n+2}=n+2\)?
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
A mógłby Pan napisać dlaczego tak jest i zkąd to się bierze? A nie można by zrobić tak \(a_n=n+2\), \(a_{n+1}=n+3\), \(a_{n+2}=n+4\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1588
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 418 razy
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
Przyjmuje się zwykle wzór ogólnym ciągu zgodny z indeksem na przykład \( a_{n} = n,\ \ a_{n+1} = n+1, \ \ itd. \)
Jeśli na przykład przyjmiemy \( a_{n} = n+2 \) to wyrazem pierwszym ciągu jest liczba \( a_{1} = 1+2 = 3 \) a nie liczba \( 1. \)
Jeśli na przykład przyjmiemy \( a_{n} = n+2 \) to wyrazem pierwszym ciągu jest liczba \( a_{1} = 1+2 = 3 \) a nie liczba \( 1. \)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
Ja tego nie zauważyłem w treści...
Pozdrawiam
PS.
\({1\over n}={1\over n+1}+{1\over n(n+1)}\)
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
O co z tym chodzi? Jaki to ma związek z treścią zadania? Możesz objaśnić?
Czyli moja uwaga była słuszna. Może tak być jak jak napisałam?
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2023, 21:23 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; przeformatowałem cytat
Powód: Poprawa wiadomości; przeformatowałem cytat
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
Sprawdź jak zachowują się dane ułamki dla ciągów:
- \((a_n)=(3,4,12)\)
- \((a_n)=(2,3,6,6)\)
Wg mnie - tak, była słuszna.
Pozdrawiam
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
Mógłbyś? Bo nie rozumiem jak mam to zrobić.Sprawdź jak zachowują się dane ułamki dla ciągów:
- \((a_n)=(3,4,12)\)
- \((a_n)=(2,3,6,6)\)
i przeanalizuj, czy można taki ciąg "przedłużyć" i to do pozaskończonej liczby wyrazów!
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
Dobrze jeśli nie chcesz pisać gotowca dla mnie bo wiem że potrafisz to możesz wyjaśnić prościej, albo w krokach co mam z tym zrobić?
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
Na mocy podanego przeze mnie faktu można stwierdzić, że dowolny ułamek o liczniku \(1\) można rozłożyć na sumę dowolnej liczby różnych ułamków o tej własności, np:
\({1\over2}={1\over3}+{1\over6}=\left({1\over4}+{1\over12}\right)+{1\over6}={1\over4}+{1\over12}+\left({1\over7}+{1\over42}\right)=\ldots\)
Ale... wg mnie nie istnieje (nie umiem wskazać!) ciąg spełniający warunki zadania!
W przykładach:
PS. Liczyłem, że kerajs - nasz specjalista od równań rekurencyjnych - się odezwie ...
\({1\over2}={1\over3}+{1\over6}=\left({1\over4}+{1\over12}\right)+{1\over6}={1\over4}+{1\over12}+\left({1\over7}+{1\over42}\right)=\ldots\)
Ale... wg mnie nie istnieje (nie umiem wskazać!) ciąg spełniający warunki zadania!
W przykładach:
- \({1\over2}={1\over3}+{1\over6}\\
{1\over3}={1\over6}+{1\over6}\\
{1\over6}={1\over6}+\color{red}{0}\) - \({1\over3}={1\over4}+{1\over12}\\
{1\over4}={1\over12}+{1\over6}\\
{1\over12}={1\over6}+\color{red}{{1\over-12}}\) - \({1\over4}={1\over5}+{1\over20}\\
{1\over5}={1\over20}+\color{red}{{3\over20}}\)
PS. Liczyłem, że kerajs - nasz specjalista od równań rekurencyjnych - się odezwie ...
-
- Fachowiec
- Posty: 1588
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 418 razy
Re: Czy istnieje nieskończony ciąg?
Rozwiązanie zadania o ciągach liczb naturalnych - przypadek ogólny
\( \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+2}} \ \ (*)\)
Dowód metodą nie wprost:
Zakładamy, że istnieje ciąg \( a_{n}\) spełniający równanie \( (*) \)
Przekształcając równoważnie równanie \( (*) \) otrzymujemy równość \( a_{n+2}\cdot (a_{n+1} - a_{n}) = a_{n}\cdot a_{n+1},[ \) że różnica \( a_{n+1}- a_{n} \) jest podzielna przez \( NWD(a_{n}, a_{n+1}) \) i liczba \( a_{n+2}\) jest dzielnikiem liczby \( \frac{a_{n}\cdot a_{n+1}}{NWD(a_{n}, a_{n+1})}.\)
Niech \( d = NWW(a_{1}, a_{2}).\)
Wykażemy metodą indukcji , że \( a_{n}|d \) dla każdego \( n\geq 1.\)
Dla \( n = 1 , n=2 \) stwierdzenie to jest prawdziwe na mocy definicji liczby \( d.\)
Jeśli \( a_{n}|d \) i \( a_{n+1}|d \) dla \( n\geq 1, \) to liczba \( d \) jest wspólną wielokotnością liczb \( a_{n}\) i \( a_{n+1}. \) Jest więc podzielna przez \( NWW(a_{n}, a_{n+1}).\)
Stąd, skoro \( a_{n+2}| NWW(a_{n}, a_{n+1})\) wynika, że \( a_{n+2}|d.\)
Co należało sprawdzić.
Ciąg \( (a_{n}) \) jest rosnący. Stąd wynika, że liczba \( d \) ma nieskończenie wiele dzielników.
Otrzymaliśmy sprzeczność, że istnieje ciąg \( (a_{n}). \)
\(\Box\)
\( \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+2}} \ \ (*)\)
Dowód metodą nie wprost:
Zakładamy, że istnieje ciąg \( a_{n}\) spełniający równanie \( (*) \)
Przekształcając równoważnie równanie \( (*) \) otrzymujemy równość \( a_{n+2}\cdot (a_{n+1} - a_{n}) = a_{n}\cdot a_{n+1},[ \) że różnica \( a_{n+1}- a_{n} \) jest podzielna przez \( NWD(a_{n}, a_{n+1}) \) i liczba \( a_{n+2}\) jest dzielnikiem liczby \( \frac{a_{n}\cdot a_{n+1}}{NWD(a_{n}, a_{n+1})}.\)
Niech \( d = NWW(a_{1}, a_{2}).\)
Wykażemy metodą indukcji , że \( a_{n}|d \) dla każdego \( n\geq 1.\)
Dla \( n = 1 , n=2 \) stwierdzenie to jest prawdziwe na mocy definicji liczby \( d.\)
Jeśli \( a_{n}|d \) i \( a_{n+1}|d \) dla \( n\geq 1, \) to liczba \( d \) jest wspólną wielokotnością liczb \( a_{n}\) i \( a_{n+1}. \) Jest więc podzielna przez \( NWW(a_{n}, a_{n+1}).\)
Stąd, skoro \( a_{n+2}| NWW(a_{n}, a_{n+1})\) wynika, że \( a_{n+2}|d.\)
Co należało sprawdzić.
Ciąg \( (a_{n}) \) jest rosnący. Stąd wynika, że liczba \( d \) ma nieskończenie wiele dzielników.
Otrzymaliśmy sprzeczność, że istnieje ciąg \( (a_{n}). \)
\(\Box\)