Planimetria - odcinki koła

[agatakoss1]

Koło o promieniu 10 cm rozcięto na dowolny trójkąt i trzy odcinki koła. Wykaż, że pole co najmniej jednego z tych odcinków jest większe niż 50 cm2.

[Jerry]

Dla uproszczenia zapisu - zaniedbajmy miana...

Załóżmy, że pole \(S_1,\ S_2,\ S_3\) każdego z odcinków kołowych jest nie większe od \(50\).

Pole \(S_\Delta\) trójkąta wpisanego w dany okrąg spełnia nierówność:
\(S_\Delta\le {1\over2}\cdot10^2\cdot\sin2\alpha+{1\over2}\cdot10^2\cdot\sin2\beta+{1\over2}\cdot10^2\cdot\sin2\gamma<{1\over2}\cdot10^2\cdot(1+1+1)=150\)
gdzie \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) są kątami wewnętrznymi trójkąta (równość zachodzi dla trójkąta ostro/prostokątnego).

Zatem
\(S_\Delta+S_1+S_2+S_3< 150+3\cdot50=300<100\pi=S_{\text{koła}}\)
Sprzeczność! Zatem założenie było fałszywe - stąd prawdziwość tezy zadania.

Pozdrawiam
PS. Szacowanie pola trójkąta jest dosyć "grube", ale - wystarczające... Dokładnie zachodzi \(S_\Delta\le 75\sqrt3\) - pole trójkąta równobocznego

[agatakoss1]

Dzięki, wszystko jasne!

Szczerze mówiąc myślałam, że trzeba będzie wykorzystać wzory na pole odcinków koła..

A dlaczego szacowanie na trójkąt równoboczny byłoby dokładniejsze? (w sensie dlaczego równoboczny)

[Jerry]

A dlaczego szacowanie na trójkąt równoboczny byłoby dokładniejsze? (w sensie dlaczego równoboczny)

Poszukując trójkąta o największym polu, wśród trójkątów wpisanych w dany okrąg, możemy zauważyć (zrób rysunek!), że:

• przy danej cięciwie (różnej od średnicy) jako podstawie trójkąt - większe pole ma trójkąt ostrokątny; największe - ten o najdłuższej wysokości, czyli równoramienny.
• analogicznie postępując z drugą cięciwą dojdziemy do wniosku, że po raz kolejny - równoramienny, czyli mamy do czynienia z trójkątem równobocznym

Pozdrawiam

[agatakoss1]

Ok, racja Wszystko jasne, dzięki