Sprawdź czy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Sprawdź czy
Sprawdź czy istnieje kąt \(\alpha \) spełniający warunek \(2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha =5\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Sprawdź czy
\(2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha =5\quad|:\sqrt{13}\\
\sin\alpha\cdot{2\over\sqrt{13}}-\cos\alpha\cdot{3\over\sqrt{13}}={5\over\sqrt{13}}\)
dla kąta \(\beta\), takiego że \(\tg\beta={3\over2}\) mamy
\(\sin(\alpha-\beta)={5\over\sqrt{13}}>1\)
zatem ...
Pozdrawiam
\sin\alpha\cdot{2\over\sqrt{13}}-\cos\alpha\cdot{3\over\sqrt{13}}={5\over\sqrt{13}}\)
dla kąta \(\beta\), takiego że \(\tg\beta={3\over2}\) mamy
\(\sin(\alpha-\beta)={5\over\sqrt{13}}>1\)
zatem ...
Pozdrawiam
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Sprawdź czy
\(2\sin\alpha-3\cos\alpha=5\\
2\sin\alpha=5+3\cos\alpha\\
\sin\alpha=\frac{5}{2}+1,5\cos\alpha\)
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
(2,5+1,5\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1\\
6,25+7,5\cos\alpha+2,25\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
3,25\cos^2\alpha+7,5\cos\alpha+5,25=0\\
\cos\alpha=t, t\in [-1,1]\\
3,25t^2+7,5t+5,25=0\\
\Delta<0\)
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2023, 20:35 przez eresh, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa błędu
Powód: poprawa błędu
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Sprawdź czy
Po co tutaj to dzielenie przez \( \sqrt{13} \), co to daje?
\(\sin(\alpha-\beta)={5\over\sqrt{13}}>1\), jak udowodnić, że to równanie nie ma rozwiązań?
To też mógłbyś lepiej wyjaśnić?
Dla kąta \( (\beta\), takiego że \(\tg\beta={3\over2}\) mamy
\(\sin(\alpha-\beta)={5\over\sqrt{13}}>1\)
zatem ...\)
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2023, 20:13 przez Luiza2, łącznie zmieniany 1 raz.
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Sprawdź czy
nie ma rozwiązań, bo sinus nie może być większy niż 1
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
Re: Sprawdź czy
A to skąd się bierze?
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2023, 21:57 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; pisz po polsku!
Powód: Poprawa wiadomości; pisz po polsku!
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Sprawdź czy
Chyba skąd?
To jest jedynka trygonometryczna
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Sprawdź czy
już poprawiłam, dzięki
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Sprawdź czy
Analizując, dla dodatnich wartości współczynników \(A,B\), rozwiązanie równania
\[A\sin x\pm B\cos x=C\]
dzielimy równanie stronami przez \(\sqrt{A^2+B^2}\), uzyskując wartości funkcji trygonometrycznych
\[\bigvee\limits_{\beta\in(0;{\pi\over2})}\begin{cases}\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cos\beta\\\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sin\beta\end{cases}\]
(łatwo sprawdzić prawdziwość wielką jedynką trygonometryczną). Równanie przyjmie postać
\[\sin(x\pm \beta)=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
Jeżeli \(\left|\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|>1\) - równanie (ze względu na zbiór wartości funkcji sinus) jest sprzeczne, w pozostałym przypadku - możemy kontynuować rozwiązanie.
Pozdrawiam