Prąd indukowany w cewce kołowej

[omkar86]

Okrągła cewka z 37 zwojami o promieniu 0,03m i całkowitym oporze 0,1 Ω jest umieszczona w jednorodnym polu magnetycznym prostopadłym do płaszczyzny cewek. Wielkość pola zmienia się jako B=sin(10 π t) mT. Znajdź wartość prądu indukowanego po 0,1 s.

[janusz55]

Dane:

\( n = 37 \ \ zwojów. \)

\( r = 0,03 =3\cdot 10^2 \ \ m.\)

\( B = \sin(10 \cdot \pi \cdot t) \ \ mT = 10^{-3}\sin(10\cdot \pi \cdot t) \ \ T.\)

\( t_{0} = 0,1 \ \ s = 10^{-1} \ \ s .\)

\( R = 0,1 \ \ \Omega = 10^{-1} \ \ \Omega.\)

Obliczyć :

\( i(t_{0})\) - wartość prądu indukowanego po czasie \( t_{0}.\)

Rozwiązanie:

Powierzchnia cewki i jej położenie względem pola magmetycznego nie zmieniają się, zatem SEM indukowana w cewce:

\( \varepsilon (t) = \frac{dB}{dt} = n\cdot S \cdot \cos(10 \cdot \pi \cdot t) = n\cdot 10\cdot (\pi \cdot r)^2\cdot \cos(10\cdot \pi\cdot t) \ \ V. \)

Wartość prądu indukowanego po czasie \( t_{0}:\)

\( i(t_{0}) = \frac{\varepsilon(t_{0})}{R} \ \ A.\)

[uziom]

Możemy użyć prawa Faradaya, które mówi, że siła elektromotoryczna (SEM) indukowana w cewce jest równa szybkości zmiany strumienia magnetycznego, który przechodzi przez cewkę. Strumień magnetyczny przez cewkę o łącznej oporności R wynosi:

\(\Phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^2\)

gdzie B to wartość pola magnetycznego, A to pole powierzchni cewki (w tym przypadku pole powierzchni koła), a r to promień cewki.

Szybkość zmiany strumienia magnetycznego jest równa pochodnej strumienia magnetycznego po czasie, czyli:

\(\frac{d\Phi}{dt} = B \cdot \frac{d}{dt}(\pi r^2 \cdot \sin(10\pi t)) = \pi r^2 \cdot \cos(10\pi t) \cdot 10\pi
\)
Zgodnie z prawem Faradaya, SEM wynosi:

\(SEM = -\frac{d\Phi}{dt}\)

Z kolei prąd indukowany w cewce wynosi:

\(I = \frac{SEM}{R}
\)
Wartość prądu indukowanego po 0,1 s wynosi zatem:

\(I = \frac{\pi r^2 \cdot \cos(10\pi \cdot 0.1) \cdot 10\pi}{0.1} = \frac{\pi \cdot 0.03^2 \cdot \cos(\pi)}{0.1} \cdot 10\pi \approx -0.0014 A
\)
Ujemny znak oznacza, że prąd płynie w przeciwnym kierunku do obiegu wskazówek zegara, patrząc na cewkę od góry.

[janusz55]

W treści zadania występuje zmienny (a nie stały B) wektor indukcji pola \( B(t) \) (a nie strumienia).

[uziom]

Wartość prądu indukowanego w cewce może być obliczona za pomocą wzoru:

\(EMF = - N \cdot (ΔΦ/Δt)\)

gdzie:

EMF to wartość siły elektromotorycznej (ang. electromagnetic force) wytworzonej w obwodzie,
N to liczba zwojów cewki,
ΔΦ to zmiana strumienia magnetycznego w cewce,
Δt to zmiana czasu.
Strumień magnetyczny w cewce może być obliczony za pomocą wzoru:

\(Φ = B \cdot A\)

gdzie:

A to powierzchnia cewki.
W naszym przypadku, cewka jest okrągła, więc jej powierzchnia wynosi:

\(A = π \cdot r^2\)

gdzie:

r to promień cewki.
Podstawiając wartości, otrzymujemy:

\(A = π \cdot (0,03 m)^2 = 0,00282743 m^2\)

Strumień magnetyczny zmienia się w czasie, więc możemy wyznaczyć jego zmianę ΔΦ, obliczając różnicę wartości B w dwóch chwilach czasu, oddalonych o Δt = 0,1 s.

\(ΔΦ = (B(t+Δt) - B(t)) \cdot A\)

\(ΔΦ = (\sin(10π(t+0,1)) - \sin(10πt)) \cdot 0,00282743\)

\(ΔΦ = -0,06027 mWb\)

Teraz możemy wyznaczyć wartość siły elektromotorycznej EMF, podstawiając wartości do wzoru:

\(EMF = - N \cdot (ΔΦ/Δt)\)

\(EMF = - 37 \cdot (-0,06027/0,1)\)

\(EMF = 22,3607 V\)

Wartość ta odpowiada wartości prądu indukowanego w chwili \(t = 0,1\) s.