Rozwiąż równanie

[LuckyLuck]

\(y'+2xy=3xe^{-x}\)

[LuckyLuck]

Nie wiem czy dobrze zrobiłem ale policzyłem równanie jednorodne, uzmienilem stała, zrozniczkowalem i wyszło mi takie coś \(C(x) = \int_{}^{} 3xe^{-x+x^2} dx\), ale kompletnie nie umiem policzyć tej całki

[nijak]

Rozważmy równanie:
\[ \frac{dy(x)}{dx}+ 2x \ y(x)=(3e)^{-x} x^{-x} \]
niech \(\mu(x)=e^{x^2}\):
\[e^{x^2} \frac{dy(x)}{dx}+(2e^{x^2}\ x ) y(x)=3^{-x} \ e^{x^2-x} x^{-x}\]
Zastąpimy \(2e^{x^2} x = \frac{d}{dx}(e^{x^2}) \):
\[e^{x^2} \frac{dy(x)}{dx}+ \frac{d}{dx}(e^{x^2})y(x)=3^{-x}\ e^{x^2-x}x^{-x} \]
.
.
.

\[e^{x^2} \ y(x)= \int 3^{-x} \ e^{x(x-1)} x^{-x}dx + C_1| : \mu(x) \]

\[y(x)=e^{-x^2}\biggl(\int 3^{-x} \ e^{x(x-1)}x^{-x}dx+ C_1\biggr)\]

Pozdrawiam

[LuckyLuck]

Tej całki nie wyliczam?

[uziom]

Rozważamy równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci:

\(y' + 2xy = 3xe^{-x}\)

Równanie to jest liniowe, ale niestety niejednorodne. Wykorzystamy do jego rozwiązania metodę wariacji stałej.

Rozwiązanie równania jednorodnego
\(y' + 2xy = 0\)

Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu, a jego rozwiązaniem jest:

\(y_h(x) = C \cdot e^{-x^2}\)

gdzie C jest stałą całkowania.

Obliczenie wariacji stałej
Teraz poszukamy rozwiązania ogólnego równania niestety jednorodnego. W tym celu podstawiamy do równania ogólnego:

\(y = v(x) \cdot e^{-x^2}\)

gdzie v(x) jest funkcją, którą musimy znaleźć.

Pochodna funkcji y po x to:

\(y' = v'(x)e^{-x^2} - 2xv(x)e^{-x^2}\)

Podstawiając to do równania niestety jednorodnego otrzymujemy:

\(v'(x)e^{-x^2} - 2xv(x)e^{-x^2} + 2xv(x)e^{-x^2}= 3xe^{-x}\)

Skracając wyrazy podobne otrzymujemy:

\(v'(x) = 3xe^x\)

Teraz całkujemy obie strony równania, aby wyznaczyć funkcję v(x):

\(∫ v'(x) dx = ∫ 3xe^{-x} dx\)

\(v(x) = -3(x+1)e^{-x} + C\)

gdzie C to stała całkowania.

Wyznaczenie rozwiązania ogólnego
Mamy już dwie funkcje: rozwiązanie równania jednorodnego y_h(x) oraz rozwiązanie niestety jednorodnego y_p(x), której szukaliśmy. Teraz składamy je w całość, otrzymując ogólne rozwiązanie równania różniczkowego:

\(y(x) = y_h(x) + y_p(x)\)

\(y(x) = C\cdot e^{-x^2} - 3(x+1)e^{-x} + D\)

gdzie C i D to stałe całkowania.

Wyznaczenie rozwiązania dla warunku początkowego
Nie podano warunku początkowego, więc nie można dokładnie określić wartości stałych C i D. Można jednak podać rozwiązanie ogólne dla dowolnych wartości C i D.

Odpowiedź: ogólne rozwiązanie równania różniczkowego \[y(x) = C\cdot e^{-x^2} - 3(x+1)e^{-x} + D\].