Nieskonczony ciąg

[Jakośtak_21]

dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). suma czterech początkowych wyrazów ciągu jest równa \(x\) a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(2\) wyznacz wszystkie wartości \(x\)

Bardzo proszę o pomoc

[grdv10]

Mamy warunki (oznaczenia standardowe) \(a(1+q+q^2+q^3)=x\) oraz \(\frac{a}{1-q}=2.\) Ale też z ,,powtarzalności" tego typu sumy będziemy mieli\[x+q^4(a+aq+\dots)=2.\] W powyższej równości \(x\) to suma pierwszych czterech wyrazów, a potem jest suma pozostałych wyrazów, z której wyciąnąłem przed nawias \(q^4.\) Stąd\[x+2q^4=2.\]Oczywiście musi być \(|q|<1.\) Rozwiązujemy ten układ równań. Otrzymamy dwa rozwiązania. W jednym \(q=-1\), co odpada ze względu na warunek zbieżności. W drugim \(a=q=2/3\) oraz \(x=130/81.\)

[Icanseepeace]

Mamy warunki (oznaczenia standardowe) \(a(1+q+q^2+q^3)=x\) oraz \(\frac{a}{1-q}=2.\) Ale też z ,,powtarzalności" tego typu sumy będziemy mieli\[x+q^4(a+aq+\dots)=2.\] W powyższej równości \(x\) to suma pierwszych czterech wyrazów, a potem jest suma pozostałych wyrazów, z której wyciąnąłem przed nawias \(q^4.\) Stąd\[x+2q^4=2.\]Oczywiście musi być \(|q|<1.\) Rozwiązujemy ten układ równań. Otrzymamy dwa rozwiązania. W jednym \(q=-1\), co odpada ze względu na warunek zbieżności. W drugim \(a=q=2/3\) oraz \(x=130/81.\)

Coś mi tutaj nie pasuje:
Nie mogę znaleźć drugiego równania z wspomnianego układu równań. Prostym kontrprzykładem będzie ciąg \( (2,0,0,\ldots) \)
W momencie gdy mamy \( x = 2 - 2q^4 \) wystarczy znaleźć wszystkie możliwe wartości \(x\) dla których \( |q| < 1 \).
Najprościej i najszybciej jest odczytać je z wykresu: \( x \in (0 , 2] \)

[grdv10]

Coś mi tutaj nie pasuje:
Nie mogę znaleźć drugiego równania z wspomnianego układu równań. Prostym kontrprzykładem będzie ciąg \( (2,0,0,\ldots) \)
W momencie gdy mamy \( x = 2 - 2q^4 \) wystarczy znaleźć wszystkie możliwe wartości \(x\) dla których \( |q| < 1 \).
Najprościej i najszybciej jest odczytać je z wykresu: \( x \in (0 , 2] \)

Dziękuję za zwrócenie uwagi. Musiałem programowi SageMath podać równanie z literówką.

Kod: Zaznacz cały

sage: x,a,q=var('x,a,q')
sage: r1=a*(1+q+q^2+q^3)==x
sage: r2=a==2*(1-q)
sage: r3=x+2*q^4==2
sage: solve([r1,r2,r3],[x,a,q])
[[x == -1/8*r1^4 + r1^3 - 3*r1^2 + 4*r1, a == r1, q == -1/2*r1 + 1]]

Po ponownym wpisaniu równań wychodzi rozwiązanie parametryczne, ale Twoje rozwiązanie jest eleganckie, więc nie będę kontynuował.

[Doni67]

A nie \(x\in[-1,1]\)? Wydaje mnie się, że przedział przytoczony przez Icanseepeace będzie właściwy dla zbioru wartości. Mogę prosić o lepsze wytłumaczenie?

[janusz55]

Z treści zadania wynika układ równań:

\( \begin{cases} a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^2 + a_{1} q^3 =x \\ \frac{a_{1}}{1-q} = 2, \ \ |q|<1. \end{cases} \)

Podstawiając \( a_{1} = 2(1-q) \) z drugiego równania do pierwszego i redukując składniki podobne, otrzymujemy równanie:

\( 2(1-q^4) = 2(1-q^2)(1+q^2) = 2(1-q)(1+q)(1+q^2) = x. \)

Rysując w układzie współrzędnych prostokątnych \( (0q y) \) wykres funkcji \( f(q) = 2(1-q)(1+q)(1+q^2) \), widzimy, że dla \( -1< q < 1, \ \ x\in (0, 2] = R(f) \) , jak wcześniej zauważył Icanseepeace.