Optymalizacja geometryczna

[domin2k4]

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty o obwodzie \(L\) i jednym z kątów o mierze \(120^\circ\). Oblicz długości boków tego trójkąta, dla którego pole koła wpisanego w ten trójkąt będzie największe.

[Jerry]

Ponieważ promień okręgu wpisanego w trójkąt jest równy \(r=\frac{2S_\Delta}{L}\), to pole koła będzie największe dla największego pola trójkąta o danym obwodzie.
Niech boki trójkąta zawarte w ramionach danego kąta mają długości \(a-x,\ a+x\), gdzie \((2-\sqrt3)L\le a<0,5L, x\in(-a;a)\).
Wtedy
\(S_\Delta(a,x)={1\over2}\cdot(a-x)(a+x)\cdot{\sqrt3\over2}={\sqrt3\over4}\cdot(a^2-x^2)\le{\sqrt3\over4}\cdot a^2\)
i równość zachodzi dla \(x=0\). Wtedy \(a=(2-\sqrt3)L\) i do odpowiedzi blisko...

Pozdrawiam

[conawah223]

Very useful post! This article provides better information [ciach]