Planimetria, ciągi

[domin2k4]

W okrąg o promieniu 1 wpisano sześciokąt foremny, następnie w ten sześciokąt wpisano okrąg, a w otrzymany okrąg wpisano sześciokąt foremny. Proces ten kontynuowano w nieskończoność. Wyznacz sumę pól wszystkich otrzymanych sześciokątów foremnych.

[eresh]

W okrąg o promieniu 1 wpisano sześciokąt foremny, następnie w ten sześciokąt wpisano okrąg, a w otrzymany okrąg wpisano sześciokąt foremny. Proces ten kontynuowano w nieskończoność. Wyznacz sumę pól wszystkich otrzymanych sześciokątów foremnych.

\(r_1=1\\
r_2=\frac{r_1\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
r_3=\frac{r_2\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\\
r_4=\frac{r_3\sqrt{3}}{2}\\
...\\\)
sześciokąty są podobne w skali \(k=\frac{\sqrt{3}}{2}, czyli \frac{P_{n}}{P_{n-1}}=k^2=\frac{3}{4}=q\)
\(P_1=6\cdot\frac{r_1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\\
S=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{3}{4}}\\
S=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}}\\
S=6\sqrt{3}\)