Dowód - trapez - zad. maturalne p. roz

[bolc]

Z. 26 (4 pkt)

W trapezie poprowadzono przekątne, które przecinają się w punkcie M. Przez punkt M poprowadzono prostą równoległą do podstaw trapezu przecinającą ramienia trapezu w punktach K i L. Udowodnij, że |KM|=|ML|

Proszę o pomoc.

[Pol]

na rysunku brakuje jednej wysokości (już mi się nie chce dorysowywać ), mianowicie chodzi mi o wysokość trapeza \(h\)

\(P_{ABD}=P_{ABM}+P_{ADM}=\frac 1 2 |AB|h
P_{ABC}=P_{ABM}+P_{BCM}=\frac 1 2 |AB|h\)

stąd wynika że:

\(P_{ABM}+P_{ADM} =P _{ABM}+P_{BCM}
P_{ADM}=P_{BCM}\)

pozostaje nam porównać wzory na pola tych trójkątów

\(P_{ADM} = P_{AMK}+P_{DMK} = \frac 1 2 |MK||AF|+\frac 1 2 |MK||DG|=\frac 1 2 |MK|(|AF|+|DG|)=\frac 1 2 |MK|h
P_{BMC} = P_{BML}+P_{CLM} = \frac 1 2 |ML||BE|+\frac 1 2 |ML||CH|=\frac 1 2 |ML|(|BE|+|CH|)=\frac 1 2 |ML|h\)

i na koniec porównanie obu wzorów:

\(\frac 1 2 |ML|h=\frac 1 2 |MK|h
|ML|=|MK|\)

[irena]

Trapez nazwałam ABCD, gdzie AB to dłuższa podstawa, CD- druga podstawa.
Z twierdzenia Talesa (trójkąty ABC i CLM):
\(\frac{|ML|}{|AB|}=\frac{|CM|}{|AC|}\\|ML|=\frac{|AB|\cdot|CM|}{|AC|}\)

Z twierdzenia Talesa (trójkąty ACD i AMK):
\(\frac{|KM|}{|CD|}=\frac{|AM|}{|AC|}\\|KM|=\frac{CD|\cdot|AM|}{|AC|}\)

Z twierdzenia Talesa (trójkąty ABM i MCD):
\(\frac{|CM|}{|AM|}=\frac{|CD|}{|AB|}\)

Po podstawieniu:

\(\frac{|ML|}{|KM|}=\frac{|AB|\cdot|CM|}{|CD|\cdot|AM|}=\frac{|AB|}{|CD|}\cdot\frac{|CM|}{|AM|}=\frac{|AB|}{|CD|}\cdot\frac{|CD|}{|AB|}=1\\|ML|=|KM|\)

[bolc]

Wielkie dzięki .