O jednym ze sposobów znajdowania pierwiastków równań w zbiorze C

[janusz55]

Załóżmy, że mamy znaleźć pierwiastki równania \( z^4 + 4 = 0, \ \ z\in \cc.\)

W tym celu zapisujemy równanie \( z^4 = -4 \ \ (1)\)

Korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej \( z = re^{i\phi}, \) zamieniamy obie strony równania \( (1) \) na postać wykładniczą:

\( r^{4}e^{i\cdot 4\phi} = 4e^{i\cdot \pi} \ \ (2)\)

Porównując część rzeczywistą i zespoloną równania \( (2) \), otrzymujemy układ:

\( \begin{cases} r^4 = 4 \\ e^{i\cdot 4\phi} = e^{i\pi + 2k\pi i}, \ \ k\in \zz \end{cases} \)

Skąd

\( \begin{cases} r = \sqrt{2} \\ \phi = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}k\cdot \pi \end{cases} \)

\( k=0: \ \ \phi = \frac{\pi}{4}, \)

\( k=1: \ \ \phi = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\pi = \frac{3}{4}\pi,\)

\( k=2: \ \ \phi = \frac{\pi}{4} + 2\cdot \frac{1}{2}\pi = \frac{5}{4} \pi.\)

\( k=3: \ \ \phi = \frac{\pi}{4} +\frac{1}{2}\pi \cdot 3 = \frac{7}{4}\pi.\)

\( z_{0} = \sqrt{2}\cdot e^{i\cdot \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + i.\)

\( z_{1} = \sqrt{2}\cdot e^{i\cdot \frac{3\pi}{4}} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 + i,\)

\( z_{2} = \sqrt{2}\cdot e^{i\cdot \frac{5\pi}{4}} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 - i,\)

\( z_{3} = \sqrt{2}\cdot e^{i\cdot \frac{7\pi}{4}} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin\frac{7\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 - i.\)

Możemy zobrazować powyższe pierwiastki zespolone na płaszczyźnie Gaussa (\( \cc \)) w postaci punktów położonych na okręgu o promieniu \( r = \sqrt{2}.\) Łącząc te punkty kolejno odcinkami, otrzymujemy kwadrat \( z_{0} z_{1} z_{2} z_{3} \) wpisany w okrąg.

[grdv10]

[...]
Porównując część rzeczywistą i zespoloną równania \( (2) \), otrzymujemy układ:
\( \begin{cases} r^4 = 4 \\ e^{i\cdot 4\phi} = e^{i\pi + 2k\pi i}, \ \ k\in \zz \end{cases} \)
[...]

Przydatny post. Pozwól jednak na słówko krytyki. Warto tu napisać, że \(k\in\{0,1,2,3\}\) lub później stwierdzić, że kąty będą powtarzać się okresowo, co wygeneruje tylko cztery różne pierwiastki.

[janusz55]

Słuszna uwaga, dziękuję !