Wielomian

[BarT123oks]

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(P(x)=x^{2022}-2x^{2021}+3x-2\) przez \(x^3-x\)

[eresh]

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(P(x)=x^{2022}-2x^{2021}+3x-2\) przez \(x^3-x\)

\(W(x)=x(x-1)(x-1)\\
P(x)=W(x)Q(x)+ax^2+bx+c\\
P(0)=c=-2\\
P(1)=a+b+c=0\\
P(-1)=a-b+c=-2\)
\(\begin{cases}c=0\\a=1\\b=1\end{cases}\\
R(x)=x^2+x-2\)

[Icanseepeace]

\(
x^{2022} - 2x^{2021} + 3x - 2 = x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \equiv x^2 - 2x + 3x - 2 \equiv x^2 + x - 2 = R(x)
\)

[Doni67]

\(
x^{2022} - 2x^{2021} + 3x - 2 = x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \equiv x^2 - 2x + 3x - 2 \equiv x^2 + x - 2 = R(x)
\)

Czy może ktoś wytłumaczyć co oznacza tutaj znak tożsamości i dlaczego z \(x^{2021}\) przechodzi na \(x\)
\(x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \)

[janusz55]

Może niech autor tej równoważności się wypowie ?

[Jerry]

Może niech autor tej równoważności się wypowie ?

W zastępstwie Icanseepeace, pod Jego nieobecność,:
To nie jest tożsamość/równoważność, ale zapis kongruencji/przystawania: \(x^{2021}\equiv x\mod (x^3-x)\)

Powolutku, metodą wykorzystana przez eresh w poście powyżej:

\(x^{2021}=(x^3-x)\cdot p(x)+r(x)\wedge r(x)=ax^2+bx+c\\\quad \begin{cases}0=c\\1=a+b+c\\-1=a-b+c\end{cases}\iff\begin{cases}a=0\\b=1\\c=0\end{cases}\So r(x)=x\)

Pozdrawiam

[edited] Icanseepeace: przepraszam, jak zaczynałem post - nie było Cię na forum

[Icanseepeace]

\(
x^{2022} - 2x^{2021} + 3x - 2 = x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \equiv x^2 - 2x + 3x - 2 \equiv x^2 + x - 2 = R(x)
\)

Czy może ktoś wytłumaczyć co oznacza tutaj znak tożsamości i dlaczego z \(x^{2021}\) przechodzi na \(x\)
\(x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \)

Zapomniałem na końcu napisać do jakiego wielomianu jest zdefiniowane to przystawanie.
Mój błąd. Prawidłowo po \( R(x) \) powinno być jeszcze \( \mod (x^3 - x) \)
Zatem jedynym przejściem które może sprawić problem jest:
\( x^{2021} \equiv x \mod (x^3 - x) \)
które dla lepszego zrozumienia można opisać słowami: wielomiany \( x^{2021} \) oraz \( x \) dają taka samą resztę z dzielenia przez wielomian \( x^3 - x \). Istotnie, zaczynając od zapisania:
\( x^{2021} = (x^{2021} - x^{2019}) + x^{2019} \). Ponieważ : \(x^{2021} - x^{2019} = x^{2018}(x^3 - x) \) to wyrażenie w pierwszym nawiasie jest podzielne przez \( x^3 - x \). Dlatego wielomiany \( x^{2021} \) oraz \( x^{2019} \), mają taką samą resztę z dzielenia przez wielomian \( x^3 - x \). Powtarzając powyższe rozumowanie ponad tysiąc razy dostajemy szukane:
\( x^{2021} \equiv x \mod (x^3 - x) \)

P.S.
Co ciekawe ten sam wynik dostaniemy po prostu korzystając z równania \( x^3 - x = 0 \So x^3 = x \So x^2 = 1 \).

[janusz55]

Rozumiem! Brak znaku "mod" . W szkolnych zadaniach dotyczących wielomianów nie ma kongruencji. Choć może zdarzają się kólka matematyczne , gdzie ten temat jest przedstawiany.

[Doni67]

Możesz rozpisać lepiej bo nie wiem skąd wynika np. \(c=0\)

[Jerry]

Możesz rozpisać lepiej bo nie wiem zkąd wynika np.\(c=0\)

Z pierwszego równania układu

\(\ldots\begin{cases}0=c\\1=a+b+c\\-1=a-b+c\end{cases}\ldots\)

Pozdrawiam

[Doni67]

P.S.
Co ciekawe ten sam wynik dostaniemy po prostu korzystając z równania \( x^3 - x = 0 \So x^3 = x \So x^2 = 1 \).

A tego już wcale nie rozumiem. Może ktoś wyjaśnić zkąd to wynika?

[Tulio]

W miejscu gdzie jest używane \(\mod \left( x^3 - x\right) \) - rozważamy dzielenie (resztę z dzielenia) przez \(x^3-x\). Nie możemy dzielić przez zero więc sytuację \(x^3-x=0\) należy rozważyć oddzielnie. Ta mogła dać dodatkowe wyniki, albo dać sprzeczność, ale dała te same co rozważanie \(\mod \left( x^3 - x\right) \) co uznano za nawet ciekawe.