Zadanie dowodowe z Trapezem

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
AdaśkoG
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 15 mar 2023, 11:26
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: AdaśkoG »

W trapezie \(ABCD \) o podstawach \(AB\) i \(CD\) dane są długości odcinków \(|BC|= q\) oraz \(|AB| = |AC| = |AD|= p\) . Oblicz długość odcinka \(BD\). Jaki warunek musi spełniać \(p\) i \(q\) aby zadanie miało rozwiązanie? Z góry dziękuje za pomoc
Ostatnio zmieniony 18 mar 2023, 17:50 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3571
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1964 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: Jerry »

Zrób schludny rysunek, "przedłuż" do trapezu równoramiennego i ... wnioskuj

Pozdrawiam
PS.
Dla dodatnich \(p,q\) takich, że \(2p^2-q^2>0\) mamy \(|BD|=\sqrt{4p^2-q^2}\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: janusz55 »

Z trójkąta równoramiennego \( ABC \) z porównania pola, obliczamy długość wysokości \( h = |CF|\) - trapezu.

Z trójkąta prostokątnego \( AED \) - obliczamy długość odcinka \( AE \) z twierdzenia Pitagorasa.

Z trójkąta prostokątnego \( DEB \) - ponownie obliczamy wzorem Pitagorasa długość przekątnej \( BD \) trapezu.

Z postaci otrzymanego wzoru na długość przekątnej \( BD \) odpowiadamy na pytanie " jakie warunki muszą spełniać długości odcinków \( p, q, \) aby ten wzór miał sens" ?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3571
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1964 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: Jerry »

Po poście janusz55, doprecyzuję mój, prowadzący do szybkiej odpowiedzi, hint
Jerry pisze: 18 mar 2023, 18:10 Zrób schludny rysunek, "przedłuż" do trapezu równoramiennego i ... wnioskuj
001.jpg
i dodatkowo: \(\alpha<90^\circ\So q<p\sqrt2\)

Pozdrawiam
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: janusz55 »

\( 0 < \frac{q}{p} < \ \ ... \)

\( |BD| = \ \ ... \)
Doni67
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 21 lut 2023, 16:39
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: Doni67 »

Chyba powinno być tak:
Dla dodatnich \(p,q\) takich, że \(4p^2-q^2>0\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: janusz55 »

Liczyłeś to zadanie ?

Jak przekształcisz tę nierówność, to \( \frac{q}{p} < \ \ ...\)
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 44 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: Maciek32 »

Mi wychodzi, że jeśli \(|BD|= \sqrt{4p^2-q^2} \)
to \( 4p^2>q^2 \So q<2p \So 0<\frac{q}{p} <2\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: janusz55 »

Jeżeli dodamy do obu stron nierówności \( 4p^2 - q^2 > 0, \ \ + q^2 \) to \( 4p^2 > q^2 \ \ (*)\)

Jeśli podzielimy nierówność \( (*)\) przez \( p^2 \) to \( 4> \frac{q^2}{p^2} \ \ (**) \)

Jeśli odejmiemy do obu stron nierówności \( (**) -4, \) to

\( \frac{q^2}{p^2} - 4 = \left(\frac{q}{p} - 2\right)\left(\frac{q}{p} +2\right) < 0 \)

Stąd:

\( ...< \frac{q}{p} < \ \ ...\) pamiętając, że \( \frac{q}{p}>0. \)
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 44 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: Maciek32 »

Dochodzimy i tak do tego samego ponieważ rozwiazaniem nierówności \(( \frac{p}{q} -2)( \frac{p}{q}+2)<0\) jest przedział \((-2,2)\) uwzględniając warunek \( \frac{p}{q} >0\) wychodzi to samo.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: janusz55 »

" Dochodzimy do tego samego", ale nie tą nierównością , którą napisałeś, tylko nierównością o przeciwnym znaku:

\( 4p^2 - q^2>0 \mid \cdot \frac{1}{q^2} \)

\( \frac{4p^2}{q^2}-1 >0,\)

\( \left(\frac{2p}{q} -1\right)\left (\frac{2p}{q} +1\right) >0\)

..............................
anilewe_MM
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 141
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 597 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: anilewe_MM »

Jakieś farmazony piszecie! I po co? @Jerry jak zwykle super rozwiązał zadanie z geometrii i uzasadnił warunki rozwiązania :) Chciałabym się nauczyć tak to robić :?
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 44 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: Maciek32 »

\(q<p\sqrt2\)

Czy to twoim zdaniem jest dobrze? Raczej \(q<2p\)

Jak i to:
\(2p^2-q^2>0\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3571
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1964 razy

Re: Zadanie dowodowe z Trapezem

Post autor: Jerry »

Maciek32 pisze: 20 mar 2023, 23:26
\(q<p\sqrt2\)

Czy to twoim zdaniem jest dobrze?
Popatrz, proszę, jeszcze raz na rysunek w moim drugim poście. Czy wyobrażasz sobie taki trapez \(ABCD\), w którym zaznaczony kąt \(\alpha\) jest prosty lub rozwarty? Jeśli nie, to... jest dobrze!

Pozdrawiam