Zadanie dowodowe z Trapezem

[AdaśkoG]

W trapezie \(ABCD \) o podstawach \(AB\) i \(CD\) dane są długości odcinków \(|BC|= q\) oraz \(|AB| = |AC| = |AD|= p\) . Oblicz długość odcinka \(BD\). Jaki warunek musi spełniać \(p\) i \(q\) aby zadanie miało rozwiązanie? Z góry dziękuje za pomoc

[Jerry]

Zrób schludny rysunek, "przedłuż" do trapezu równoramiennego i ... wnioskuj

Pozdrawiam

PS.

Pokaż

Dla dodatnich \(p,q\) takich, że \(2p^2-q^2>0\) mamy \(|BD|=\sqrt{4p^2-q^2}\)

[janusz55]

Z trójkąta równoramiennego \( ABC \) z porównania pola, obliczamy długość wysokości \( h = |CF|\) - trapezu.

Z trójkąta prostokątnego \( AED \) - obliczamy długość odcinka \( AE \) z twierdzenia Pitagorasa.

Z trójkąta prostokątnego \( DEB \) - ponownie obliczamy wzorem Pitagorasa długość przekątnej \( BD \) trapezu.

Z postaci otrzymanego wzoru na długość przekątnej \( BD \) odpowiadamy na pytanie " jakie warunki muszą spełniać długości odcinków \( p, q, \) aby ten wzór miał sens" ?

[Jerry]

Po poście janusz55, doprecyzuję mój, prowadzący do szybkiej odpowiedzi, hint

Zrób schludny rysunek, "przedłuż" do trapezu równoramiennego i ... wnioskuj

001.jpg

i dodatkowo: \(\alpha<90^\circ\So q<p\sqrt2\)

Pozdrawiam

[janusz55]

\( 0 < \frac{q}{p} < \ \ ... \)

\( |BD| = \ \ ... \)

[Doni67]

Chyba powinno być tak:
Dla dodatnich \(p,q\) takich, że \(4p^2-q^2>0\)

[janusz55]

Liczyłeś to zadanie ?

Jak przekształcisz tę nierówność, to \( \frac{q}{p} < \ \ ...\)

[Maciek32]

Mi wychodzi, że jeśli \(|BD|= \sqrt{4p^2-q^2} \)
to \( 4p^2>q^2 \So q<2p \So 0<\frac{q}{p} <2\)

[janusz55]

Jeżeli dodamy do obu stron nierówności \( 4p^2 - q^2 > 0, \ \ + q^2 \) to \( 4p^2 > q^2 \ \ (*)\)

Jeśli podzielimy nierówność \( (*)\) przez \( p^2 \) to \( 4> \frac{q^2}{p^2} \ \ (**) \)

Jeśli odejmiemy do obu stron nierówności \( (**) -4, \) to

\( \frac{q^2}{p^2} - 4 = \left(\frac{q}{p} - 2\right)\left(\frac{q}{p} +2\right) < 0 \)

Stąd:

\( ...< \frac{q}{p} < \ \ ...\) pamiętając, że \( \frac{q}{p}>0. \)

[Maciek32]

Dochodzimy i tak do tego samego ponieważ rozwiazaniem nierówności \(( \frac{p}{q} -2)( \frac{p}{q}+2)<0\) jest przedział \((-2,2)\) uwzględniając warunek \( \frac{p}{q} >0\) wychodzi to samo.

[janusz55]

" Dochodzimy do tego samego", ale nie tą nierównością , którą napisałeś, tylko nierównością o przeciwnym znaku:

\( 4p^2 - q^2>0 \mid \cdot \frac{1}{q^2} \)

\( \frac{4p^2}{q^2}-1 >0,\)

\( \left(\frac{2p}{q} -1\right)\left (\frac{2p}{q} +1\right) >0\)

..............................

[anilewe_MM]

Jakieś farmazony piszecie! I po co? @Jerry jak zwykle super rozwiązał zadanie z geometrii i uzasadnił warunki rozwiązania Chciałabym się nauczyć tak to robić

[Maciek32]

\(q<p\sqrt2\)

Czy to twoim zdaniem jest dobrze? Raczej \(q<2p\)

Jak i to:

\(2p^2-q^2>0\)

[Jerry]

\(q<p\sqrt2\)

Czy to twoim zdaniem jest dobrze?

Popatrz, proszę, jeszcze raz na rysunek w moim drugim poście. Czy wyobrażasz sobie taki trapez \(ABCD\), w którym zaznaczony kąt \(\alpha\) jest prosty lub rozwarty? Jeśli nie, to... jest dobrze!

Pozdrawiam