Zbieżność ciągu

[agatakoss1]

Zbadaj zbieżność ciągu \[a_n=\begin{cases}
n^2-2n&\text{dla n parzystych}\\
3^n&\text{dla n nieparzystych }
\end{cases}\]

[janusz55]

Proszę zbadać, czy podciągi \( (a_{2k+1}), \ \ ( a_{2k}), \ \ k=1,2,, ... \) ciągu \( (a_{n}) \) są zbieżne do granicy \( g ?\)

[janusz55]

Rozważmy podciąg \( (a_{2k}) \) ciągu \( (a_{n}) \)

\( a_{2k+1} = (2k)^2 -4\cdot k = 4k^2 - 4k. \)

Jest to dwumian kwadratowy zmiennej \( k\in N. \)

Wykażemy, że ma granicę \( +\infty \)

Można zwrócić uwagę, że już dla \( k>1 \) wyrazy tego ciągu są dodatnie.

Zapiszmy jego wyrazy w postaci:

\( 4k^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{k}\right) \)

Oczywiście

\( lim_{k \to \infty} (4k^2) = \lim_{k \to \infty} (2k) \cdot \lim_{k\to \infty}(2k) = 2\lim_{k\to \infty} (k)\cdot 2 \lim_{k\to \infty} (k)= (+\infty)\cdot (+\infty) = +\infty \)

(z definicji mnożenia symboli nieskończonych przez liczby dodatnie i twierdzenia o granicy iloczynu)

Drugi czynnik wyrazu ciągu \( \left(1 - \frac{1}{2k}\right) \) ma granicę równą \( 1,\) bo na mocy twierdzenia o granicy ilorazu oraz granicy ciągu stałego \( \lim_{k\to \infty} \frac{1}{k} = 0 \) i na mocy granicy różnicy ciągów \( \lim_{k\to \infty}\left(1 -\frac{1}{k} \right) = 1 - 0 = 1.\)

Ponownie stosując twierdzenie o granicy iloczynu otrzymujemy \( (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)

Możemy więc zapisać, że

\(\lim_{k\to \infty} 4k^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{k}\right) = (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)

Rozważmy drugi podciąg ciągu \( (a_{n}) \) o wyrazach nieparzystych. Wyraz ogólny tego podciągu możemy zapisać w postaci

\( a_{2k+1} = 3^{2k+1} = 3\cdot 3^{2k} = 3\cdot 9^{k}. \)

Jest to ciąg geometryczny o ilorazie \( q = 9 \notin (-1, 1) \) - rozbieżny.

Na podstawie granicy iloczynu i granicy ciągu stałego otrzymujemy:

\( \lim_{k\in +\infty} \left(3^{2k+1} \right) = \lim_{k\to\infty} (3) \cdot \lim_{k\to \infty} ( 9^{k}) = 3\cdot (+\infty) = +\infty.\)

Z wniosku twierdzenia Bolzano - Weierstrassa wynika, że ciąg \( (a_{n}) \) jest rozbieżny.

Przypomnijmy twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z każdego ciągu można wybrać podciąg, który ma granicę (skończoną lub nie).

[agatakoss1]

A ten pierwszy podciąg to nie będzie \[a_{(2k)}=4k^2-8k\] ?

[nijak]

User janusz55 strzelił tylko pomyłkę w indeksie dla pierwszego podciągu. Reszta zadania jest dobrze.
Powinno być: \( a_{2n}=4n^2-4n\).

[janusz55]

Rozważmy podciąg \( (a_{2k}) \) ciągu \( (a_{n}) \)

\( a_{2k} = (2k)^2 -4\cdot k = 4k^2 - 4k. \)

Jest to dwumian kwadratowy zmiennej \( k\in N. \)

Wykażemy, że ma granicę \( +\infty \)

Można zwrócić uwagę, że już dla \( k>1 \) wyrazy tego ciągu są dodatnie.

Zapiszmy jego wyrazy w postaci:

\( 4k^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{k}\right) \)

Oczywiście

\( lim_{k \to \infty} (4k^2) = \lim_{k \to \infty} (2k) \cdot \lim_{k\to \infty}(2k) = 2\lim_{k\to \infty} (k)\cdot 2 \lim_{k\to \infty} (k)= (+\infty)\cdot (+\infty) = +\infty \)

(z definicji mnożenia symboli nieskończonych przez liczby dodatnie i twierdzenia o granicy iloczynu)

Drugi czynnik wyrazu ciągu \( \left(1 - \frac{1}{2k}\right) \) ma granicę równą \( 1,\) bo na mocy twierdzenia o granicy ilorazu oraz granicy ciągu stałego \( \lim_{k\to \infty} \frac{1}{k} = 0 \) i na mocy granicy różnicy ciągów \( \lim_{k\to \infty}\left(1 -\frac{1}{k} \right) = 1 - 0 = 1.\)

Ponownie stosując twierdzenie o granicy iloczynu otrzymujemy \( (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)

Możemy więc zapisać, że

\(\lim_{k\to \infty} 4k^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{k}\right) = (+\infty)\cdot 1 = +\infty.\)

Rozważmy drugi podciąg ciągu \( (a_{n}) \) o wyrazach nieparzystych. Wyraz ogólny tego podciągu możemy zapisać w postaci

\( a_{2k+1} = 3^{2k+1} = 3\cdot 3^{2k} = 3\cdot 9^{k}. \)

Jest to ciąg geometryczny o ilorazie \( q = 9 \notin (-1, 1) \) - rozbieżny.

Na podstawie granicy iloczynu i granicy ciągu stałego otrzymujemy:

\( \lim_{k\in +\infty} \left(3^{2k+1} \right) = \lim_{k\to\infty} (3) \cdot \lim_{k\to \infty} ( 9^{k}) = 3\cdot (+\infty) = +\infty.\)

Z wniosku twierdzenia Bolzano - Weierstrassa wynika, że ciąg \( (a_{n}) \) jest rozbieżny.

Przypomnijmy twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z każdego ciągu można wybrać podciąg, który ma granicę (skończoną lub nie).