zadanie optymalizacyjne

[BarT123oks]

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których pole powierzchni całkowitej równe jest 12. Oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

[eresh]

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których pole powierzchni całkowitej równe jest 12. Oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

\(P_c=12\\
2a^2+4ah=12\\
a^2+2ah=6\\
h=\frac{6-a^2}{2a}\\
a\in (0,\sqrt{6})\)

\(V=a^2H\\
V(a)=\frac{6-a^2}{2a}\cdot a^2\\
V(a)=\frac{1}{2}(6a-a^3)\\
V'(a)=\frac{1}{2}(6-3a^2)\\
V'(a)=\frac{3}{2}(2-a^2)\\
V'(a)>0\iff a\in (0,\sqrt{2})\\
V'(a)<0\iff a\in (\sqrt{2},\sqrt{6})\\
V_{max}=V(\sqrt{2})=...\)