zadanie optymalizacyjne

[BarT123oks]

Rozważamy funkcję \(f(k)=x1*x2\), gdzie \(x1, x2\)są rożnymi rozwiązaniami równania \((k+1)x^2+kx+k^2=0\) z niewiadomą x, \(x \in R\). Wyznacz tę wartość parametru k, dla której funkcja f przyjmuje maksimum.

[eresh]

Rozważamy funkcję \(f(k)=x1*x2\), gdzie \(x1, x2\)są rożnymi rozwiązaniami równania \((k+1)x^2+kx+k^2=0\) z niewiadomą x, \(x \in R\). Wyznacz tę wartość parametru k, dla której funkcja f przyjmuje maksimum.

1. \(k\neq -1\)
2.
\(\Delta>0\\
k^2-4(k+1)k^2>0\\
k^2(1-4k-4)>0\\
k^2(-4k-3)>0\\
k<-\frac{3}{4}\)

\(D=(-\infty, -\frac{3}{4})\setminus\{-1\}\)

\(f(k)=\frac{k^2}{k+1}\\
f'(k)=\frac{2k(k+1)-k^2}{(k+1)^2}\\
f'(k)=\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}\\
f'(k)>0\iff k\in (-\infty, -2)\\
f'(k)<0\iff k\in (-2, -\frac{3}{4})\setminus\{-1\}\\
f_{max}=f(-2)\)