pochodna w punkcie

[presidente]

Funkcja \(f\) dana jest za pomocą wzorów \(f(x)=\begin{cases} x &\text{dla }x< 1\\ x^{2}-4x+4 &\text{dla }x \ge 1 \end{cases}\)
Zbadaj, na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie, czy istnieje pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0 =1\)

[grdv10]

Iloraz różnicowy: \[\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{f(1+h)-1}{h}.\]Pochodna lewostronna:\[f'_(1)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-1}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{(1+h)-1}{h}=1.\]Pochodna prawostronna:\[f'_+(1)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-1}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{h(h-2)}{h}=-2.\]Funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie \(1\).

[presidente]

Dziękuję bardzo