oblicz logarytm

[presidente]

Oblicz \( \frac{\log^{2}_6 3 + \log_6 16 }{\log_6 3 \cdot \log_6 48 +\log^{2}_6 4}\)

Próbowałem w jakiś sposób przekształcić, ale bezskutecznie

[presidente]

Oblicz \( \frac{\log^{2}_6 3 + \log_6 16 }{\log_6 3 \cdot \log_6 48 +\log^{2}_6 4}\)

Próbowałem w jakiś sposób przekształcić, ale bezskutecznie

[Icanseepeace]

Dla przejrzystości przekształceń łatwiej jest podstawić:
\( u = \log_6 3 \\ v = \log_6 2 \)
Wtedy:
\( 1 = \log_6 6 = \log_6 (2 \cdot 3) = \log_6 2 + \log_6 3 = u + v\)
i dlatego licznik możemy zapisać jako:
\( \log_6 ^2 3 + \log_6 16 = u^2 + 4v = u^2 + 4v \cdot 1 = u^2 + 4v \cdot (u + v) = u^2 + 4uv + 4v^2 = (u+2v)^2 \)
w podobny sposób należy postąpić z mianownikiem.

[janusz55]

Wskazówka: podstawienie

\( \log_6(2) = \log_6(\frac{6}{3}) = \log_6(6) - \log_6(3) = 1 - \log_6(3).\)

Odpowiedź: wartość wyrażenia jest równa \( 1.\)