Problem geometrii przestrzeni

[kritiment]

Mając płaszczyznę, prostą sieczną do płaszczyzny i punkt P na zewnątrz zarówno płaszczyzny, jak i prostej, próbuję znaleźć odcinek, który biegnie od punktu na płaszczyźnie do punktu na prostej, tak że dany punkt P jest środkiem tego odcinka.

Próbowałem, ale to po prostu za dużo. Jakaś pomoc?

[grdv10]

Bierzesz dowolny punkt na prostej i łączysz go z zadanym punktem pisząc równanie prostej. Szukasz przecięcia z płaszczyzną i korzystasz z warunku środka odcinka.

Powiedzmy, że dla uproszczenia mamy płaszczyznę \(x+y+z=4\) oraz punkt \((1,0,0)\), a prostą będzie oś \(z\), czyli \(x=y=0,\ z\in\rr\).

Dowolny punkt osi \(z\) to \((0,0,z_0)\). Prosta przechodząca przez niego i punkt \((1,0,0)\) ma wektor równoległy \([1,0,-z_0]\), więc ma równanie \(x=t,\ y=0,\ z=z_0-z_0t\). Szukasz punktu wspólnego z płaszczyzną \(x+y+z=4\) i masz\[t+z_0-z_0t=4,\]więc \[t=\frac{4-z_0}{1-z_0},\]skąd wyznaczasz punkt przecięcia. Punkt \((0,0,0)\) ma być środkiem odcinka o końcach \((1,0,0)\) i w tym punkcie przecięcia. Muszę liczyć dalej?

[radagast]

Można też syntetycznie:
1) Sprowadzić do przypadku płaskiego kreśląc płaszczyznę wyznaczoną przez zadaną prostą k i podany punkt P .
Dalej rozwiązujemy na wykreślonej płaszczyźnie
patrz obrazek:

2) dalej rozwiązujemy na płaszczyźnie:

a) kreślę prostą PW
b) znajduję \(W_1\) taki ,ż \(PW = PW_1\)
c)prosta równoległa do k przechodząca przez \(W_1\) przecina k' w punkcie A
prosta równoległa do k' przechodząca przez \(W_1\) przecina k w punkcie B
d) \( \kre{AB} \) jest szukanym odcinkiem

[Jerry]

Analitycznie (nie jestem przekonany, że autorowi wątku o to chodziło), ja bym robił tak:

1. Równanie płaszczyzny \(p\) zawierającej daną prostą \(k\) i dany punkt \(P\)
2. Równanie prostej \(l\) - części wspólnej danej płaszczyzn \(\pi\) i \(p\)
3. Niech \((x(u),y(u),z(u)),\ (x(w),y(w),z(w))\) będą postaciami parametrycznymi prostych \(k,l\) i punkt \(P=(x_P,y_P,z_P)\). Wtedy zachodzi układ równań:
   \[\begin{cases}\frac{x(u)+x(w)}{2}=x_P\\\frac{y(u)+y(w)}{2}=y_P\\\frac{z(u)+z(w)}{2}=z_P\end{cases}\]
   którego rozwiązanie prowadzi do odpowiedzi

Elementarnie: problem można sprowadzić do płaszczyzny \(p\) i konstrukcyjnie poszukiwać tych punktów... w tej chwili tej konstrukcji nie pamiętam

Pozdrawiam

[edited] radagast: dziękuję!