Liczby zespolone - tożsamość Eulera

[agatakoss1]

Cześć!

Mam problem z jednym zadankiem.
Podaj moduł liczby zespolonej oraz jej postać trygonometryczną \[ z=(1-i\sqrt{3}) e^{\frac{i \Pi }{5} }\]

Zastanawiam się, czy mogę skorzystać z toż. Eulera i ten element \[ e^{\frac{i \Pi }{5}} \] zapisać jako
\[ (e^{i \Pi})^{\frac {1}{5}}=(-1)^{\frac {1}{5}}=-1\]

I dalej potraktować tę liczbę jako \[ z={(1-i\sqrt{3}) \cdot (-1) }\] czy nie.

[Tulio]

Czemu używasz dużego \(\pi\)?
No więc faktycznie \(e^{\frac{i\pi}{5}}= \left( e^{i\pi}\right)^{\frac{1}{5}} = \left( -1\right)^\frac{1}{5} \)
Ale skąd wzięłaś \(\left( -1\right)^\frac{1}{5} = -1\) to nie wiem. Przecież \(\left( -1\right)^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{-1} \), a pierwiastek w liczbach zespolonych jest funkcją niejednoznaczną (tutaj ma pięć "rozwiązań").

Krótko: Możesz, ale to będzie \(\frac{1}{5}\) całej prawdy. Musisz rozważyć pozostałe cztery przypadki.

[agatakoss1]

Oczywiście małe pi, mój błąd. Przepraszam.

Ok, ale czy do policzenia modułu i postaci zespolonej muszę rozpatrzyć te przypadki? Czy mogę ewentualnie policzyć to inaczej?

[Tulio]

Do modułu - tak, gdyż:
\( \left| z \right| = \left|(1-i\sqrt{3}) e^{\frac{i \Pi }{5} } \right| = \left|(1-i\sqrt{3}) \right| \cdot \left| e^{\frac{i \Pi }{5} }\right| \)
a odległość od zera każdego z pięciu wspommnianych przypadków jest taka sama, więc:
\(\left|(1-i\sqrt{3}) \right| \cdot \left| e^{\frac{i \Pi }{5} }\right| = \left|(1-i\sqrt{3}) \right|\)

co do postaci trygonometrycznej to nie. Musisz przedstawić najpierw lewy czynnik w postaci wykładniczej:
\(1-i \sqrt{3} = \ldots = C \cdot e^?\)
nastepnie wymnożyć i zwyczajnie potęgi się zsumują i przejść z powrotem na postać trygonometryczną. Nie potrzebujesz do tego żadnego przekształcania \(e^{\frac{i\pi}{5}}\)

[agatakoss1]

Ok, rozumiem.

a) moduł liczby zespolonej

\[ z=|(1-i\sqrt{3}) e^{\frac{i\pi}{5} }|=|(1-i\sqrt{3})||e^{\frac{i\pi}{5} }|=|(1-i\sqrt{3})||(-1)^{ \frac{1}{5}}|=|(1-i\sqrt{3})|= \sqrt{1^{2}+(- \sqrt{3})^{2} }= 2 \]


b) postać trygonometryczna

\[ z=|z|e^{i\varphi}\]

\[|z|= \sqrt{1^{2}+(- \sqrt{3})^{2} } \]
\[\sin\varphi= \frac{- \sqrt{3} }{2}\], więc \[\varphi= \frac{5\pi}{3} \]
\[ z=2e^{\frac{i5\pi}{3}}\]

I teraz wracam do liczby podstawowej \[z=2e^{ \frac{5\pi}{3}}e^{ \frac{i \pi}{5} }=2e^{ \frac{28\pi}{15}} \]

I teraz na trygonometryczną: \[z=2(\cos\ \frac {28\pi}{15} + i sin\ \frac{28\pi}{15}) \]


Czy jeszcze coś pomieszałam?

[Tulio]

Jak dla mnie... prawidłowo.

[agatakoss1]

Dziękuję za pomoc