Równanie kwadratowe z parametrem

[BarT123oks]

Dane jest równanie \(x^2-(3a-2)x-a^2+5a+1=0\) z niewiadomą \(x\) oraz parametrem \(a\in\rr\). Wyznacz te wartości \(a\), dla których różne rozwiązania \(x_1,\ x_2\) tego równania spełniają warunek \(2x_1+x_2=2a-3\).

[zaba123]

Oprócz dość oczywistego warunku delty większej od zera dopisz do tego równania dwa wynikające ze wzorów Viete'a:
\(x_1+x_2=3a-2\\
x_1\cdot x_2=-a^2+5a+1\)

[BarT123oks]

Oprócz dość oczywistego warunku delty większej od zera dopisz do tego równania dwa wynikające ze wzorów Viete'a:
\(x_1+x_2=3a-2\\
x_1\cdot x_2=-a^2+5a+1\)

Tak robiłem właśnie ale zaciąłem się w trakcie, więc byłbym wdzięczny jakby ktos to rozwiązał

[Jerry]

Jeżeli istnieją \(x_1,\ x_2\) rozwiązania równania, to
\(\begin{cases}2x_1+x_2=2a-3\\ x_1+x_2=3a-2\end{cases}\iff\begin{cases}x_1=-a-1\\ x_2=4a-1\end{cases}\)
Pozostaje warunek
\(x_1\cdot x_2=-a^2+5a+1\iff (-a-1)(4a-1)=-a^2+5a+1\)
\(a\in\{-{8\over3},0\}\)
Pozostaje Ci sprawdzenie, czy dla wskazanych wartości parametru równanie ma dwa rozwiązania.

Pozdrawiam

[Taotao2]

Dlaczego \( a\in \left \{ - \frac{8}{3} , 0\right\} \) wyjaśnisz?

[eresh]

Dlaczego \(a \in \{- \frac{8}{3},0\} \) wyjaśnisz?

\((-a-1)(4a-1)=-a^2+5a+1\\
-3a^2-8a=0\\
-a(3a+8)=0\\
a=0\;\;\vee\;\;a=-\frac{8}{3}\)