Dowód nierówności

[xenoneq_o0]

Udowodnić, że jeżeli \(y \le \frac{2}{3}x\), to \(\forall_{x,y\in\rr} \) prawdziwa jest nierówność:
\(y^{3}\le \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2})\)

Próbowałem przekształcić to jakoś równoważnie, ale bez pozytywnego skutku

[grdv10]

Dość kiepsko sformułowałeś zadanie. Jeśli zachodzi jakiś warunek, to już nie dla wszystkich \(x,y\) zachodzi nierówność. Inaczej: dla wszystkich \(x,y\), jeśli spełniony jest warunek..., to zachodzi nierówność... . Dokładniej:

Udowodnić, że dla wszystkich \(x,y\in\rr\) spełniających warunek \(y \leqslant \frac{2}{3}x\) zachodzi nierówność \[y^{3}\leqslant \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]

Zauważmy, że po przeniesieniu wszystkiego na prawo mamy do udowodnienia nierówność\[8x^3-20x^2y+14xy^2-3y^3\geqslant 0.\]Traktując lewą stronę jako wielomian zmiennej \(x\) z parametrem \(y\) zauważamy, że \(x=\frac{3}{2}y\) jest jego pierwiastkiem, więc ten wielomian dzieli się przez \(x-\frac{3}{2}y\), a co za tym idzie, także przez \(2x-3y\geqslant 0\) (na mocy założenia). Po wykonaniu dzielenia dostaniemy równoważnie\[(4x^2-4xy+y^2)(2x-3y)=(2x-y)^2(2x-3y)\geqslant 0,\]a ta nierówność jest prawdziwa właśnie ze względu na założenie i drugi czynnik występujący w kwadracie.

Można wobec tego zauważyć, że jeśli \(y\ne 2x\) oraz \(y>\frac{2}{3}x\), to zachodzi nierówność przeciwna:\[y^{3}> \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]

[xenoneq_o0]

Dość kiepsko sformułowałeś zadanie. Jeśli zachodzi jakiś warunek, to już nie dla wszystkich \(x,y\) zachodzi nierówność. Inaczej: dla wszystkich \(x,y\), jeśli spełniony jest warunek..., to zachodzi nierówność... . Dokładniej:

Udowodnić, że dla wszystkich \(x,y\in\rr\) spełniających warunek \(y \leqslant \frac{2}{3}x\) zachodzi nierówność \[y^{3}\leqslant \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]

Zauważmy, że po przeniesieniu wszystkiego na prawo mamy do udowodnienia nierówność\[8x^3-20x^2y+14xy^2-3y^3\geqslant 0.\]Traktując lewą stronę jako wielomian zmiennej \(x\) z parametrem \(y\) zauważamy, że \(x=\frac{3}{2}y\) jest jego pierwiastkiem, więc ten wielomian dzieli się przez \(x-\frac{3}{2}y\), a co za tym idzie, także przez \(2x-3y\geqslant 0\) (na mocy założenia). Po wykonaniu dzielenia dostaniemy równoważnie\[(4x^2-4xy+y^2)(2x-3y)=(2x-y)^2(2x-3y)\geqslant 0,\]a ta nierówność jest prawdziwa właśnie ze względu na założenie i drugi czynnik występujący w kwadracie.

Można wobec tego zauważyć, że jeśli \(y\ne 2x\) oraz \(y>\frac{2}{3}x\), to zachodzi nierówność przeciwna:\[y^{3}> \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]

Treść taką niestety dostałem...
W sumie dość nietrudne zadanie jeśli się zauważy ten rozkład wielomianu na czynniki

[grdv10]

W sumie dość nietrudne zadanie jeśli się zauważy ten rozkład wielomianu na czynniki

Trudne jest takie zadanie, którego nie potrafisz rozwiązać. Dlatego było ono dla Ciebie trudne, gdyż inaczej nie szukałbyś tu pomocy. Można natomiast powiedzieć, że zadanie posiada nietrudne rozwiązanie. Życzę dobrej niedzieli.

[xenoneq_o0]

W sumie dość nietrudne zadanie jeśli się zauważy ten rozkład wielomianu na czynniki

Trudne jest takie zadanie, którego nie potrafisz rozwiązać. Dlatego było ono dla Ciebie trudne, gdyż inaczej nie szukałbyś tu pomocy. Można natomiast powiedzieć, że zadanie posiada nietrudne rozwiązanie. Życzę dobrej niedzieli.

Wiadomo jestem mądry po fakcie, ale dokładnie to miałem na myśli co mówisz, że to zadanie posiada nietrudne rozwiązanie. Również dobrej niedzieli