Zadanie z okręgu opisanego na graniastosłupie

[sushil87]

Suma długości promienia okręgu opisanego na podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego i wysokości tego graniastosłupa jest równa 12. Jakie wymiary powinien mieć ten graniastosłup, aby jego objętość była możliwie największa?

[Tulio]

Dane: \(R+H=12\) czyli \(H=12-R\)
Trójkąt równoboczny ma tę własność, że: \(R=\frac{2}{3}h\) stąd \(h=\frac{3}{2}R\). Możemy obliczyć bok tego trójkąta w zależności od \(R\):
\(h=\frac{a\cdot \sqrt{3} }{2}\)
\(a=\frac{2h}{ \sqrt{3} } = \frac{3R}{ \sqrt{3} } = \sqrt{3}R\)
Zatem objętość:
\(V \left( R\right) =\frac{1}{2}a\cdot h \cdot H = \frac{\sqrt{3}R^2}{4} \left( 12-R\right) \)
Liczysz pochodną, znajdujesz jej miejsca zerowe, znajdujesz maksimum.

[Taotao2]

\[R= \frac{x \sqrt{3} }{2} \]
\[R+H=12\] wysokość wynosi \[H= \frac{36-x \sqrt{3} }{3} \] ale \(0<x<12\sqrt{3}\)
Objętość jest równa:
\(V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H\)
Funkcja objętości zależna od krawędzi \(x\):
\(V(a)=\frac{12x^2\sqrt{3}-x^3}{4}\)
\(V'(a)=\frac{3a(8\sqrt{3}-a)}{4}\\
\)
\(V'(a)>0 \ dla \ a\in (0,8\sqrt{3})\\ \)
\(V'(a)<0\ dla \ a\in (8\sqrt{3},12\sqrt{3})\)
\(V_{max}=V(8\sqrt{3})\\ \)

Odpowiedź: \(a=8\sqrt{3}\\
H=\frac{36-24}{3}=4\)