Udowodnij

[xenoneq_o0]

Mam problem z zadaniem dowodowym

Wykaż, że w trójkącie o kątach wewnętrznych \( \alpha , \beta , \gamma \), zachodzi równość:
\(2(\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma + \sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \cos \alpha + \sin \gamma \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta)= \sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta + \sin^{2} \gamma\)

[Icanseepeace]

Kąty \( \alpha , \beta , \gamma \) są kątami wewnętrznymi trójkąta, więc mamy równość \( \alpha + \beta + \gamma = \pi \)
Dlatego sinus sumy dwóch z nich jest równy sinusowi trzeciego kąta (bo \( \sin(x) = \sin(\pi - x) \))
\( \sin ^2 (\beta) = \sin (\beta) \cdot \sin (\beta) = \sin (\beta) \cdot \sin(\alpha + \gamma) = \sin(\alpha) \cdot \sin (\beta) \cdot \cos(\gamma) + \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) \cdot \sin(\gamma) \)
Rozpisując analogicznie wartości \( \sin^2(\alpha) \) oraz \( \sin^2(\gamma) \) a następnie dodając wszystkie trzy równości stronami dostajemy tezę.

[Jerry]

Po wykorzystaniu tw. Snelliusa otrzymujemy kolejne równości równoważne danej:
\(2\cdot{a\over 2R}\cdot{b\over2R}\cdot\cos\gamma+2\cdot{a\over 2R}\cdot{c\over2R}\cdot\cos\beta+2\cdot{b\over 2R}\cdot{c\over2R}\cdot\cos\alpha={a^2\over4R^2}+{b^2\over4R^2}+{c^2\over4R^2}\qquad|\cdot4R^2\\
2ab\cos\gamma+2ac\cos\beta+2bc\cos\alpha=a^2+b^2+c^2\)
Z tw. Carnota mamy
\((a^2+b^2-c^2)+(a^2+c^2-b^2)+(b^2+c^2-a^2)=a^2+b^2+c^2\)
co jest prawdą, zatem teza zadania jest prawdziwa. CKD

Pozdrawiam

[xenoneq_o0]

Dzięki bardzo wszystko rozumiem