Równanie

[nijak]

Wykaż, że równanie \(y^2=x^3+23\) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych \(x,y\).

[grdv10]

Równania diofantyczne rozwiązujemy przez różne kongruencje. Sztuką jest znaleźć odpowiedni dzielnik. Potem analiza reszt powinna doprowadzić do sprzeczności.

[nijak]

Próbowałem (\( \mod 3 \)), ale nie wychodzi.

[grdv10]

Spróbuj pooglądać zadania olimpijskie z wcześniejszych lat. Tam są rozwiązywane tego rodzaju zadania. Można szukać redukcji modulo na czuja, ale są też systematyczne metody związane z twierdzeniami z teorii liczb.

[Tulio]

\(\mod 4\) da Ci więcej. Rozbij dla \(x\) parzystego - otrzymasz \(3 \left( \mod 4 \right) \), ale kwadraty liczb całkowitych nie mogą mieć \(3 \left( \mod 4 \right) \).
Stąd otrzymujesz, że \(x\) musi być liczbą nieparzystą.
Dla nieparzystego \(x\) rozważ \(23 = 3^3-2^2\)

[Jerry]

Parzystość \(y\) była oczywista od samego początku...

Dla nieparzystego \(x\) rozważ \(23 = 3^3-2^2\)

Możesz (byłem w tych okolicach) rozwinąć myśl?

Pozdrawiam

[Tulio]

Nie w pełni bo nie rozwiązałem, ale to na podstawie tego pdfa. Zwą się takie równania "równiem Mordella". Twierdzenie 2.1 wygląda identycznie dla \(k=7\) zamiast \(k=23\)

Więc dałbym:
\(y^2+4= x^3+3^3\)
(\(y\) jest parzyste więc \(y^2+4 \equiv 0 \left( mod 4\right) \))
\(y^2+4= \left( x+3 \right) \left( x^2-3x+9 \right) \)
Wobec nieparzystości \(x\) możemy zapisać \(x=4k+1 \vee x=4k+3\) i dla obu drugi nawias \(\equiv 1 \left( mod 4\right)\) wobec czego pierwszy musi być podzielny przez \(4\) więc wniosek, że musi zachodzić \(x=4k+1\). Co dalej - nie wiem.

Znalazłem dokładnie ten przykład na Internecie link i mniej więcej w tym miejscu dochodzą do tego, że drugi czynnik \( \left( x^2-3x+9\right) \) musi mieć dzielnik będący liczbą pierwszą, ale niezbyt rozumiem skąd to wzięli (w pdfie też występuje ten krok: " Thus \(x^2 − 2x + 4\) has a prime factor \(p \equiv 3 \mod 4\)" więc pewnie nie znam jakiegoś twierdzonka).

[Icanseepeace]

\(x=4k+1 \vee x=4k+3\) i dla obu drugi nawias \(\equiv 1 \left( mod 4\right)\)

Na pewno

[Jerry]

Przeczytałem, ale ... nie do końca (pomijając literówki) zrozumiałem . Może twórca wątku, najbardziej zainteresowany, ogarnie?

Pozdrawiam

[Tulio]

Na pewno

Nie na pewno.
Choć wniosek ten sam. Dla \(x=4k+1\) drugi nawias \(3 \left( \mod 4 \right) \), a dla \(x=4k+3\) drug nawias \(1 \left( \mod 4 \right) \). Nadal... nie dzieli się przez cztery więc \(x=4k+1\) by pierwszy nawias był podzielny.

[Icanseepeace]

Na pewno

Nie na pewno.
Choć wniosek ten sam. Dla \(x=4k+1\) drugi nawias \(3 \left( \mod 4 \right) \), a dla \(x=4k+3\) drug nawias \(1 \left( \mod 4 \right) \). Nadal... nie dzieli się przez cztery więc \(x=4k+1\) by pierwszy nawias był podzielny.

Wniosek ten sam, ale przystawanie \( x^2 - 3x + 9 \equiv 3 \mod 4 \) jest istotne w dalszej części dowodu.
Należy wyjaśnić:
\( (1^o) \) dlaczego liczba naturalna w postaci \( 4k + 3 \) ma dzielnik będący liczbą pierwszą.
\( (2^o) \) dlaczego \( y^2 + 4 \) nie dzieli się przez liczbę pierwszą w postaci \( 4k + 3 \).

\( (1^o) \)
Każdą liczbę naturalną możemy zapisać za pomocą iloczynu liczb pierwszych w odpowiednich potęgach(PTA).
Co więcej każdą liczbę pierwszą różną od 2 możemy przedstawić w jednej z dwóch postaci \( 4l + 1 \ , \ 4l + 3 \) dla pewnego całkowitego l. Weźmy teraz naturalną liczbę nieparzystą w postaci \( 4k + 3 \). Jeżeli jest pierwsza to kończymy. Jeżeli nie jest pierwsza to musiała powstać z iloczynu liczb \( 4l_1 + 1 \) oraz \( 4l_2 + 3 \) ponieważ dwie pozostałe kombinacje dają liczbę w postaci \( 4k + 1 \). Z takiego rozkłądu bierzemy liczbę \( 4l + 3 \) i powtarzamy rozumowanie aż do momentu otrzymania liczby pierwszej. Rozkład jest skończony, więc taką liczbę znajdziemy.

\( (2^o) \)
Z symbolu legendre'a mamy \( \left(\dfrac{-4}{p}\right) \equiv \left(\dfrac{-1}{p}\right) \cdot \left(\dfrac{2^2}{p}\right) \equiv -1 \cdot 1 \equiv -1 \ \pmod{p} \) co daje sprzeczność.

Dlatego:
Ponieważ \( x^2 - 3x + 9 \equiv 3 mod (4) \) to możemy zapisać ją jako \( 4k + 3 \) dla pewnego całkowitego k. Dalej z \( (1^o) \) mamy, że istnieje liczba pierwsza \( p \) postaci \( 4l + 3\) taka, że \( p | (y^2 + 4) \), ale to jest niemożliwe na mocy \( (2^o) \)

[Tulio]

\( (2^o) \)
[...]
\(\equiv -1 \ \pmod{p} \) co daje sprzeczność.

Możliwe, że elementarne pytanie (ostatnio takie rzeczy widziałem na studiach), ale... czemu \(\equiv -1 \ \pmod{p} \) daje sprzeczność?

Edit: a, dobra. Już mi się chyba połączyły zwoje. \(\equiv -1 \ \pmod{p} \) daje sprzeczność, bo z tego wynika, że \(p|y^2+4-1\), a więc nie dzieli tego co chcemy.

[Icanseepeace]

\( (2^o) \)
[...]
\(\equiv -1 \ \pmod{p} \) co daje sprzeczność.

Możliwe, że elementarne pytanie (ostatnio takie rzeczy widziałem na studiach), ale... czemu \(\equiv -1 \ \pmod{p} \) daje sprzeczność?

Pod koniec \( (1^o) \) dostajemy równanie: \( y^2 \equiv -4 \mod p \).
Symbol Legendre’a jest funkcją która pozwala sprawdzić czy takie równanie posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych. Jeżeli wartość tej funkcji wynosi -1 (tak jak w tym wypadku) to równanie nie ma rozwiązań całkowitych.