Geometria analityczna w R^3

[Sway22]

Niech \( A = (1, 1, −1) \) oraz \( B = (1, −1, −2) \). Czy na prostej
\( k : (x, y, z) = (1, −1, 1) + t[−3, 1, 2], t ∈ R \)
można wyznaczyć taki punkt \( C \), aby pole trójkąta \( ABC \) było równe \( 9 \)?

[Jerry]

Skoro
\(C(1-3t,-1+t,1+2t),\ t\in\rr\),
to
\(\vec{AB}=[0,0,-1]\) i \(\vec{AC}=[-3t,-2+t,2+2t]\)
i
\(P_{\Delta ABC}={1\over2}\cdot |\vec{AB}\times\vec{AC}|={1\over2}\cdot|[t-2,3t,0]|=\frac{\sqrt{10t^2-4t+4}}{2}\)
Pozostaje rozwiązać równanie
\[\frac{\sqrt{10t^2-4t+4}}{2}=9\]
i wskazać punkty \(C_1,\ C_2\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia...

[Sway22]

Skoro
\(C(1-3t,-1+t,1+2t),\ t\in\rr\),
to
\(\vec{AB}=[0,0,-1]\) i \(\vec{AC}=[-3t,-2+t,2+2t]\)
i
\(P_{\Delta ABC}={1\over2}\cdot |\vec{AB}\times\vec{AC}|={1\over2}\cdot|[t-2,3t,0]|=\frac{\sqrt{10t^2-4t+4}}{2}\)
Pozostaje rozwiązać równanie
\[\frac{\sqrt{10t^2-4t+4}}{2}=9\]
i wskazać punkty \(C_1,\ C_2\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia...

Jakby to wyglądało na rysunku?
Myślałam, że iloczyn wektorowy daje wektor prostopadły do obu wektorów, ale wtedy nie za bardzo rozumiem zastosowany wzór i dlaczego miałby on zadziałać?

[Jerry]

Jakby to wyglądało na rysunku?

Możesz się pobawić w Geogebrze

Myślałam, że iloczyn wektorowy daje wektor prostopadły do obu wektorów, ...

Masz rację, ale jego długość określa wzór: \(|\vec v\times\vec w|=|\vec v|\cdot|\vec w|\cdot|\sin(\angle\vec v,\vec w)|\)

... dlaczego miałby on zadziałać?

Bo \(S_{\Delta(\vec v,\vec w)}={1\over2}\cdot |\vec v|\cdot|\vec w|\cdot|\sin(\angle\vec v,\vec w)|\)

Pozdrawiam