Udowodnić ze

[LuckyLuck]

Udowodnic że \(\ln x \le \sqrt{x}\) dla wszystkich \( x>0 \)

[Tulio]

Widzimy, że \( \Lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty\) i \( \Lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} = 0\) oraz \(\ln 1 = 0, \sqrt{1} =1\). Obie funkcje są ciągłe i stale rosnące więc dla \(x\in \left( 0,1\right) \) logarytm przyjmuje wartości ujemne, zaś pierwiastek dodatnie.
Dla zaś \(x\in \left(1, \infty \right) \) mamy \( \left( \ln x\right)' = \frac{1}{x} < \frac{1}{2 \sqrt{x} } = \sqrt{x}' \), a więc funkcja pierwiastek rośnie szybciej od logarytmu.