Najwieksza wartość funkcji

[enta]

Wyznaczyc najwieksza wartość funkcji \(f(x) =x^{-x} \)na przedziale \((0,+ \infty) \)

[Jerry]

Hint:
\(y=f(x) =x^{-x} =e^{-x\ln x}\)

Pozdrawiam

[edited] wykres

[Tulio]

Pochodna: \(f' \left( x\right) = \left( x^{-x}\right)' = \left( e^{\ln x^{-x}}\right)' = \left( e^{-x\cdot \ln x}\right)' = e^{-x\cdot \ln x}\cdot \left( -x\cdot \ln x\right)' =\\ \quad= e^{-x\cdot \ln x}\cdot \left( -\ln x -x\cdot \frac{1}{x}\right) = -x^{-x} \cdot \left( 1 + \ln x\right)\)
Przytównujemy ją do zera:
\(f' \left( x\right) = 0 \)
\(-x^{-x} \cdot \left( 1 + \ln x\right) = 0\)
\( 1 + \ln x= 0\)
\(x = \frac{1}{e}\)
Pochodna w tym punkcie zmienia znak z dodatniego na ujemny zatem mamy do czynienia z maksimum lokalnym równym
\(f_{max} = f \left( \frac{1}{e}\right) = \left(\frac{1}{e} \right)^{-\frac{1}{e}} = \sqrt[e]{e} \)

Do pełni należałoby jeszcze wykazać, że \( \Lim_{x\to 0^+} f \left( x\right) < 1\) oraz, że \( \Lim_{x\to \infty} f \left( x\right) < 1\)