Wykaż

[avleyi]

Wykaż, że:
a) Zał: a,b \( \in \rr \)
Teza: \(a^2+b^2+16 \ge ab+4a+4b\)
Dowód: ...

b) Zał: x,y \( \in \rr \)
Teza: \(9x^4+y^4+6 \ge 12xy\)
Dowód: ...

[Jerry]

Wykaż, że:
a) Zał: a,b \( \in \rr \)
Teza: \(a^2+b^2+16 \ge ab+4a+4b\)

Dana nierówność jest równoważna kolejno:
\(2a^2+2b^2+32-2ab-8a-8b\ge0\\
a^2-2ab+b^2+a^2-8a+16+b^2-8b+16\ge0\\
(a-b)^2+(a-4)^2+(b-4)^2\ge0\)
co jest prawda (równość dla \(a=b=4\)), zatem teza zdania jest prawdziwa. CKD

Pozdrawiam

[Jerry]

Wykaż, że:
b) Zał: x,y \( \in \rr \)
Teza: \(9x^4+y^4+6 \ge 12xy\)

Z nierówności Cauchy'ego o średnich:
\(\frac{9x^4+y^4+3+3}{4}\ge\sqrt[4]{9x^4\cdot y^4\cdot3\cdot3}=3|xy|\)
i równość zachodzi dla \(9x^4=y^4=3=3\). Zatem
\(9x^4+y^4+6 \ge 12|xy|\), ale \(12|xy|\ge 12xy\). CKD

Pozdrawiam