Układ równań

[Sway22]

Zbadać liczbę rozwiązań podanego układu równań i wyznaczyć rozwiązania, jeśli istnieją.

\( \begin{cases} x + y - z = 0 \\
-4x - 2y + 3z = 1 \\
3x - y - z = -2 \end{cases} \)

[grdv10]

Kod: Zaznacz cały

sage: A=matrix([[1,1,-1],[-4,-2,3],[3,-1,-1]])
sage: U=A.augment(vector([0,1,-2]),subdivide=True)
sage: U
[ 1  1 -1| 0]
[-4 -2  3| 1]
[ 3 -1 -1|-2]
sage: A.rank()
2
sage: U.rank()
2
sage: U.rref()
[   1    0 -1/2|-1/2]
[   0    1 -1/2| 1/2]
[   0    0    0|   0]

Rzędy obu macierzy wynoszą 2, więc układ jest nieoznaczony, ma rozwiązanie parametryczne z jednym parametrem. Z postaci zredukowanej (tej rref) wnosimy, że\[y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}z,\quad x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}z,\quad z\in\rr.\]