zbieżność szeregu

[Filip25]

Zbadać zbieżność szeregu:
\( \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{n^2+1}}{(n+1)^{n^2}} \)

[Jerry]

I znowu: warunek konieczny:
\(\frac{n^{n^2+1}}{(n+1)^{n^2}}\to e^{-n}\cdot n\to0\)
jest spełniony...

Pozdrawiam
PS. Zbieżność szeregów, to nie jest moje hobby

[Tulio]

Z warunku koniecznego jeszcze nie wynika, że szereg jest zbieżny.
Kryterium Cauchy'ego:
\( \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{n^{n^2+1}}{ \left(n+1 \right)^{n^2} } } = \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{n\cdot n^{n^2}}{ \left(n+1 \right)^{n^2} } } = \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{ \frac{n^{n^2}}{ \left(n+1 \right)^{n^2} } }\)
Pierwszy czynnik dąży do \(1\) więc zajmujemy się tylko drugim:
\( \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \left( \frac{n}{n+1}\right)^{n^2} } = \Lim_{n\to \infty} \left( \frac{n}{n+1}\right)^{\frac{n^2}{n}} = \Lim_{n\to \infty} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right)^n = \Lim_{n\to \infty} \left[ \left( 1-\frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n+1}} =\frac{1}{e} < 1\)
A więc szereg jest zbieżny

[Jerry]

Z warunku koniecznego jeszcze nie wynika, że szereg jest zbieżny.

Nigdzie tego nie napisałem

Pozdrawiam

[Tulio]

Nigdzie tego nie napisałem

A ja nie napisałem, że gdziekolwiek to napisałeś.
To była informacja dla autora, gdyż nie widziałem drugiego Twojego posta (i przez to skąd "I znowu: warunek konieczny:") więc wolałem uściślić.