Przebieg zmienności funkcji

[Sway22]

Zbadaj przebieg zmienności funkcji f (dziedzina, przecięcie z osią x i y, asymptoty, przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne) i narysuj wykres:

\( f(x) = x^2e^{1/x} \)

Wyliczyłam, że \( D = \rr \bez \) {0}

Wydaje mi się, że przecięcia z żadną osią nie będzie.

Nie wiem za bardzo jak wyliczyć asymptoty, bo nie wiem jak z tego obliczyć granicę. I nie jestem pewna co do pochodnej z \( e^{1/x} \) żeby obliczyć resztę.

[Jerry]

Może wykres pomoże... Jeśli nie - doprecyzuj pytania.

Pozdrawiam

[edited] \((e^{1\over x})'=e^{1\over x}\cdot{-1\over x^2}\)

[Sway22]

Może wykres pomoże... Jeśli nie - doprecyzuj pytania.

Pozdrawiam

[edited] \((e^{1\over x})'=e^{1\over x}\cdot{-1\over x^2}\)

Ok, więc byłam w stanie wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne.

Nie jestem jednak pewna co do obliczania asymptot. Czy wystarczy napisać (jeśli to wogóle jest dobrze):

\( \Lim_{x\to 0^+} x^2e^\frac{1}{x} = 0 \\
\Lim_{x\to 0^-} x^2e^\frac{1}{x} = 0 \)
więc istnieje asymptota x = 0

I co z asymptotą poziomą i ukośną? Bo wiem, że ich nie ma, ale jak to obliczyć? Przy ukośnej dochodze tylko do:

\( A= \Lim_{x\to \infty } \frac{x^2e^{ \frac{1}{x} }}{x} = \Lim_{x\to \infty } xe^{ \frac{1}{x} } = \) ?

[Jerry]

\( \Lim_{x\to 0^+} x^2e^\frac{1}{x} = 0 \\
\Lim_{x\to 0^-} x^2e^\frac{1}{x} = 0 \)
więc istnieje asymptota x = 0

Tak, ale tylko R-stronna:
\(\Lim_{x\to 0^+} x^2e^\frac{1}{x} = \Lim_{x\to 0^+} \frac{e^\frac{1}{x}}{x^{-2}} =\left[{+\infty\over+\infty}\right]\nad{H}{=}\Lim_{x\to 0^+} \frac{e^\frac{1}{x}}{2x^{-1}}= \left[{+\infty\over+\infty}\right]\nad{H}{=}\Lim_{x\to 0^+}{=}\Lim_{x\to 0^+}{1\over2}\cdot e^\frac{1}{x}=+\infty \)

\( A= \Lim_{x\to \infty } \frac{x^2e^{ \frac{1}{x} }}{x} = \Lim_{x\to \infty } xe^{ \frac{1}{x} } =\) ?

\(\Lim_{x\to \infty } xe^{ \frac{1}{x} } =\left[+\infty\cdot e^{0}\right]=+\infty\)
i asymptoty ukośnej R-stronnej brak

Pozdrawiam