Prostopadłościan o ekstremalnej objętości w stożku

[Sway22]

W stożek kołowy o promieniu podstawy \(R\) i wysokości \(h\) wpisz prostopadłościan o ekstremalnej objętości. Wyznacz jego krawędzie.

[Jerry]

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

   

2. \(\Delta CLC_1\sim\Delta QLS\ (kk):\quad H={h\over R}\cdot x\)
3. \(|AC|=d=2R-2x\)
4. \(V(\alpha,x)={1\over2}\cdot d^2\sin\alpha\cdot(2R-2x)={h\over2R}\cdot\sin\alpha\cdot(4x^3-8Rx^2-4R^2x)\)

Rozpatrzmy funkcje:

• \(f(\alpha)=\sin\alpha\wedge \alpha\in(0;\pi)\\
  f(\alpha)\le1\wedge f(\alpha)=1\iff\alpha={\pi\over2}\So a=b={d\sqrt2\over2}\)
• \(y=g(x)=4x^3-8Rx^2-4R^2x\wedge D=(0;R)\\
  y'=g'(x)=12x^2-16Rx+4R^2\wedge D'=D\)
  WKIE: \(y'=0\iff x={R\over3}\)
  WDIE: Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w \(x={R\over3}\So\begin{cases}x={R\over3}\\y_\max=g({R\over3})=\ldots\end{cases}\)

Odp. Największą objętość, równą \({8\over27}R^2h\), ma prostopadłościan o krawędziach podstawy długości \(a=b={2\sqrt2\over3}R\) i wysokości \(H={1\over3}h\)

Pozdrawiam

[maria19]

Jednak upieralabym się przy mojej odpowiedzi, która już nie pierwszy raz zniknęła w cudowny sposób. Podstawą musi być kwadrat o boku \(a=\frac{2R}{3}\), wysokość się zgadza.
P.S. Zadanie z podręcznika dla 3kl. LO.

[maria19]

Jednak masz dobrze, zle to przeanalizowalam ze względu na ten niechlujny rysunek

Spoiler

\(V_{max}=\frac{8}{27}R^2h\)

[Sway22]

1. \(\Delta CLC_1\sim\Delta QLS\ (kk):\quad H={h\over R}\cdot x\)
2. \(|AC|=d=2R-2x\)
3. \(V(\alpha,x)={1\over2}\cdot d^2\sin\alpha\cdot(2R-2x)={h\over2R}\cdot\sin\alpha\cdot(4x^3-8Rx^2-4R^2x)\)

Czym jest \( V(\alpha,x) \) ?

[Jerry]

Czym jest \( V(\alpha,x) \) ?

Objętością prostopadłościanu uzależnioną od \(\alpha,\ x\) określonych w moim poście, które są od siebie niezależne. Stąd dwie rozpatrywane funkcji funkcje, których iloczyn optymalizowałem...

Pozdrawiam