zbieżność szeregu

[Filip25]

Zbadać zbieżność szeregu:
\( \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{(n!)^3}{2^{n^2}} \)

[Filip25]

Bardzo proszę o pomoc

[Tulio]

Ponownie weźmy kryterium d'Alemberta:
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \Lim_{n\to \infty} \frac{ \left( \left( n+1\right)!\right)^3 }{2^{ \left( n+1\right)^2 }} \cdot \frac{2^{n^2}}{ \left( n!\right)^3 } = \Lim_{n\to \infty} \left( \frac{ \left( n+1\right)! }{n!} \right)^3 \cdot \frac{2^{n^2}}{2^{ \left( n+1\right)^2 }} = \Lim_{n\to \infty} \left( n+1\right)^3 \cdot \frac{2^{n^2}}{2^{n^2+2n+1}} = \Lim_{n\to \infty} \left( n+1\right)^3 \cdot 2^{-2n-1} =\)
Mamy więc do rozwiązania taką granicę:
\( = \frac{1}{2} \cdot \Lim_{n\to \infty} \frac{ \left( n+1\right)^3 }{4^n} \)
Dzielę i licznik i mianownik przez \(4^n\):
\(\frac{1}{2} \cdot \Lim_{n\to \infty} \frac{ \frac{n^3}{4^n} + \frac{3n^2}{4^n} + \frac{3n}{4^n} + \frac{1}{4^n} }{1} = \frac{1}{2} \cdot \Lim_{n\to \infty} \frac{n^3}{4^n} + \frac{3n^2}{4^n} + \frac{3n}{4^n} + \frac{1}{4^n} = 0\)
a więc szereg jest zbieżny.

[Tulio]

Gdyby był potrzebny dowód \( \Lim_{n\to \infty} \frac{n^3}{4^n} = 0\) (i podobnych):
Niech \(b_n = \frac{n^3}{4^n}\) wtedy \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{ \left( n+1\right)^3 }{4^ \left( n+1\right) } \cdot \frac{4^n}{n^3} = \frac{4^n}{4^n\cdot4} \cdot \frac{n^3+3n^2+3n+1}{n^3} = \frac{1}{4} \cdot \left( 1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right) < 1 \)
ostatnia nierówność dla każdego \(n > 3\)
więc \(\Lim_{n\to \infty} b_n = 0\)