Wyznacz granicę ciągu:
\( \sqrt[n]{1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 +...+ n \cdot 2^n} \)
granica
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Tulio
- Często tu bywam
- Posty: 212
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 16 razy
- Otrzymane podziękowania: 53 razy
- Płeć:
Re: granica
Z tw. o trzech ciągach:
\( \sqrt[n]{1\cdot2^1 + 2\cdot2^2 + \ldots +n\cdot2^n} \le \sqrt[n]{n\cdot2^n + n\cdot2^n + \ldots +n\cdot2^n} = \sqrt[n]{ \left( n\cdot2^n\right) \left( 1 + 1 + \ldots + 1\right)} =\\\qquad= \sqrt[n]{ \left( n\cdot2^n\right) \cdot n} = \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{2^n} \to 1\cdot2=2\)
z drugiej strony prosto:
\(2 = \sqrt[n]{2^n} \le \sqrt[n]{1\cdot2^1 + 2\cdot2^2 + \ldots +n\cdot2^n} \)
\( \sqrt[n]{1\cdot2^1 + 2\cdot2^2 + \ldots +n\cdot2^n} \le \sqrt[n]{n\cdot2^n + n\cdot2^n + \ldots +n\cdot2^n} = \sqrt[n]{ \left( n\cdot2^n\right) \left( 1 + 1 + \ldots + 1\right)} =\\\qquad= \sqrt[n]{ \left( n\cdot2^n\right) \cdot n} = \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{2^n} \to 1\cdot2=2\)
z drugiej strony prosto:
\(2 = \sqrt[n]{2^n} \le \sqrt[n]{1\cdot2^1 + 2\cdot2^2 + \ldots +n\cdot2^n} \)
Ostatnio zmieniony 02 lut 2023, 16:02 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa kodu: \\ \qquad, \to
Powód: Poprawa kodu: \\ \qquad, \to