Cosinus kąta pomiędzy wektorami

[exaggerate]

Oblicz cosinus kąta między wektorami: \(\text{grad}(\ln(𝑥+𝑦^2))\) w punkcie \(𝑃(0,1)\) i w punkcie \(𝑄({1\over2}, 1)\)
I
proszę o wytłumaczenie jak skorzystać ze wzoru \(\cos ( \vec v,\vec ω) =\frac{\vec v\ \circ\ \vec ω }{ |\vec v|\ \cdot\ |\vec ω|}\)

[grdv10]

Gradient jest wektorem. Musisz policzyć gradient i podstawić współrzędne obu punktów otrzymując odpowiednie wektory. Potem oblicz cosinus wg wzoru, który podajesz.\[\text{grad}f(x,y)=\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]=\left[\frac{1}{x+y^2},\frac{2y}{x+y^2}\right].\]W punkcie \(P\) mamy wektor \([1,2]\), a w punkcie \(Q\) wektor \(\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right].\) Widać, że oba są proporcjonalne, a drugi powstaje z pierwszego przez pomnożenie przez \(\frac{2}{3}.\) Zatem kąt między nimi to \(0\), więc jego cosinus wynosi \(1\). Nie trzeba nawet wstawiać do wzoru. No chyba, że zrobiłem błąd w rachunkach.