Gęstość rozkładu zmiennej losowej Y na podstawie X

[SHOO]

Cześć mam takie oto zadanie, które sprowadza mnie do całek nieelementarnych

Niech \(X\) ~ \( \mathcal{N}(0,1)\) i \(Y=X^2\). Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej losowej Y

Korzystam z funkcji gęstości rozkładu normalnego. Następnie rozpisuję sobie z dystrybuanty
\(P(-\sqrt(y) \leq X \leq \sqrt(y)) = F_x(\sqrt(y)) - F_X(-\sqrt(y)) \)

Co zmusza mnie do obliczenia całki z f.gęstości.
Domyślam się że można wykorzystać całka gaussa i coś podstawić, coś wyciągnać, aby wiedząc że dana całka jest f. gęstości i całkuje się do 1, ale po długim czasie kombinowania, nie udało mi się tego ruszyć. Proszę o pomoc

[lolitas]

Możesz skorzystać z komputera.tunnel rush

[janusz55]

Nie trzeba korzystać z komputera, jeśli uwzględnimy twierdzenie o wyznaczaniu gęstości funkcji zmiennych losowych \( Y = g(X) \) dla jednego lub \( n \) przedziałów:

\( f_{Y}(y) = \sum_{k=1}^{n}f_{X}[h_{k}(y)]\cdot |h^{'}(y)|I_{D_{k}}(y) \ \ (*)\)

W naszym przypadku, jeżeli \( Y=X^2 \), to przyjmując przedziały \( I_{1}=(-\infty, 0), \ \ I_{2}= (0, \infty), \) otrzymujemy

\( h_{1}(y) =-\sqrt{y}, \ \ h_{2}(y) = \sqrt{y}. \)

Na podstawie \( (*)\)

\( f_{Y}(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}[f_{X}(-\sqrt{y}) + f_{X}(\sqrt{y})]I_{(0,\infty)} (y).\)

Jeżeli \( X \sim \mathcal{N}(0,1) \), to otrzymujemy \( f_{X^2}(y)= \frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-\frac{y}{2}} I_{(0,\infty)} (y).\)