Zadania uzupełniające.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Zadania uzupełniające.
1. Podaj liczbę rozwiązań równania \(f(x)=mx\) w zależności od parametru m.
a) \(f(x)=|\frac{1}{x}|+4\)
b) \(f(x)=\frac{1}{|x+1|}-1\)
2. Dla jakiej wartości parametru m równanie \(\frac{1}{|x-1|}=m-2\) ma dwa pierwiastki dodatnie?
3. Dla jakich wartości parametru m wykresy funkji f i g nie mają punktów wspólnych?
a) \(f(x)=\frac{m-3}{x}, g(x)=x+m\)
b) \(f(x)=\frac{m}{x}, g(x)=(m-1)x\)
4. Dla jakich wartości parametru m funkja f jest funkcją kwadratową o najmniejszej wartości większej od 1?
a) \(f(x)=mx^2+4x+m+4\)
b) \(f(x)= (m-2)x^2+(m-5)x+2\)
5. Oblicz \(\lim_{n \to \infty}a_n\).
a) \(a_n=\frac{(n+2)!+n!}{(n+3)!}\)
b) \(a_n=f(n) = \begin{cases} \frac{2n}{1+n^2}, & \text{dla }n\leq 1000 \\ \frac{1-n}{1+n}, & \text{dla }n>1000 \end{cases}\)
c) \(a_n=f(n) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{dla }n\leq 500 \\ \frac{6n+1}{2n+1}, & \text{dla }n>500 \end{cases}\)
5. Dla jakich wartości parametru b ciąg:
a) \(a_n=\frac{bn}{(b+1)n+3}\) ma granicę równą \(- \infty \)
b) \(a_n=\frac{b^2n}{(b+4)n+b}\) ma granicę równą \(2\)
a) \(f(x)=|\frac{1}{x}|+4\)
b) \(f(x)=\frac{1}{|x+1|}-1\)
2. Dla jakiej wartości parametru m równanie \(\frac{1}{|x-1|}=m-2\) ma dwa pierwiastki dodatnie?
3. Dla jakich wartości parametru m wykresy funkji f i g nie mają punktów wspólnych?
a) \(f(x)=\frac{m-3}{x}, g(x)=x+m\)
b) \(f(x)=\frac{m}{x}, g(x)=(m-1)x\)
4. Dla jakich wartości parametru m funkja f jest funkcją kwadratową o najmniejszej wartości większej od 1?
a) \(f(x)=mx^2+4x+m+4\)
b) \(f(x)= (m-2)x^2+(m-5)x+2\)
5. Oblicz \(\lim_{n \to \infty}a_n\).
a) \(a_n=\frac{(n+2)!+n!}{(n+3)!}\)
b) \(a_n=f(n) = \begin{cases} \frac{2n}{1+n^2}, & \text{dla }n\leq 1000 \\ \frac{1-n}{1+n}, & \text{dla }n>1000 \end{cases}\)
c) \(a_n=f(n) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{dla }n\leq 500 \\ \frac{6n+1}{2n+1}, & \text{dla }n>500 \end{cases}\)
5. Dla jakich wartości parametru b ciąg:
a) \(a_n=\frac{bn}{(b+1)n+3}\) ma granicę równą \(- \infty \)
b) \(a_n=\frac{b^2n}{(b+4)n+b}\) ma granicę równą \(2\)
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając .
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zadania uzupełniające.
rysujemy wykres \(f(x)=\frac{1}{|x-1|}+2\)
dwa rozwiązania dodatnie, gdy \(m>3\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zadania uzupełniające.
\(x\neq 0\\
\frac{m-3}{x}=x+m\\
m-3=x^2+mx\\
x^2+mx-m+3=0\\
\Delta<0\\
m^2-4(-m+3)<0\\
m^2+4m-12<0\\
m\in (-6,2)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zadania uzupełniające.
\(\frac{m}{x}=(m-1)x\\
x\neq 0\\
m=(m-1)x^2\\
x^2(m-1)-m=0\\\)
1. dla \(m=1\):
\(-1=0\)
brak rozwiązań
2. dla \(m\neq 1\)
\(x^2(m-1)=m\\
x^2=\frac{m-1}{m}\)
brak rozwiązań, gdy
\(\frac{m-1}{m}<0\\
m\in (0,1)\)
Odpowiedź: \(m\in(0,1]\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zadania uzupełniające.
\(m>0\\
q>1\\
p=-\frac{-4}{2m}=-\frac{2}{m}\\
q=m\cdot\frac{4}{m^2}-\frac{8}{m}+m+4\\
q=\frac{-4}{m}+m+4\\
\frac{-4}{m}+m+4>1\\
-4+m^2-3m>0\\
m^2-3m-4>0\\
m\in (4,\infty)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zadania uzupełniające.
\(m-2>0\\
m>2\\
\Delta=m^2-10m+25-8(m-2)=m^2-10m+25-8m+16=m^2-18m+41\\
\frac{-m^2+18m-41}{4(m-2)}>1\\
-m^2+18m-41>4m-8\\
-m^2+14m-33>0\\
m\in (3,11)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zadania uzupełniające.
\(\Lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)!+n!}{(n+3)!}=\Lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n+3}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)})=\Lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n+3}{(n+1)(n+2)(n+3)}=0\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zadania uzupełniające.
\(\frac{b^2}{b+4}=2\\
b^2=2b+8\\
b^2-2b-8=0\\
b=4\\
b=-2\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
Re: Zadania uzupełniające.
Jeżeli \(b\ne-1\), to dany ciąg ma granicę właściwą, równą \({b\over b+1}\). W przeciwnym wypadku
\(\Limn a_n=\Limn \frac{-n}{3}=-\infty\).
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
Re: Zadania uzupełniające.
- Dla \(x>-1\) mamy
\({1\over x+1}-1=mx\\
{-x\over x+1}=mx\\
x=0\vee {-1\over x+1}=m\)
Z animacji- jedno rozwiązanie dla \(m\ge0\color{red}{\vee m=-1}\)
- dwa rozwiązania dla \(m<0\color{red}{\wedge m\ne-1}\)
- Dla \(x<-1\) mamy
\({1\over -x-1}-1=mx\\
{x+2\over -x-1}=mx\quad|:x\\
{-x-2\over x^2+x}=m\)
Rozpatrzmy funkcję \(y=f(x)={-x-2\over x^2+x}\wedge D=(-\infty;-1)\)- \(\Lim_{x\to-\infty}f(x)=0\\ \Lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty\)
- \(f'(x)=\frac{x^2+4x+2}{(x^2+x)^2}\wedge D'=D\)
- WKIE: \(y'(x)=0\iff x=-2-\sqrt2\)
- z analizy znaku pochodnej: \(\begin{cases}x=-2-\sqrt2\\y_\max=3-2\sqrt2\end{cases}\)
- brak rozwiązań dla \(m>3-2\sqrt2\)
- jedno rozwiązanie dla \(m\le0\) oraz dla \(m=3-2\sqrt2\)
- dwa rozwiązania dla \(0<m<3-2\sqrt2\)
Pozdrawiam
[edited] poprawka, bo pojawia się podwójny pierwiastek \(x=0\)