Wyznacz parametry \(A\) i \(B\) tak, aby funkcja była ciągła:
\(f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-4}{ \sqrt[3]{x+2} }&\text{ dla } & x<-2\\ Ax+B&\text{ dla } & x \in \left[-2,0 \right]\\(1+\sin(x^2))^{ \frac{1}{x} }&\text{ dla } & x>0\end{cases} \)
parametry
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: parametry
Ponieważ
\(\Lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^3}{{x+2} }}=0\wedge \Lim_{x\to-2^+}f(x)=f(-2)=-2A+B\)
oraz
\(\Lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=B\wedge\Lim_{x\to0^+}(1+\sin x^2)^{1\over x}=
\Lim_{x\to0^+}\left[(1+\sin x^2)^{1\over\sin x^2}\right]^{{\sin x^2\over x^2}\cdot x}=e^{1\cdot0}=1\)
to wobec ciągłości funkcji w przedziałach określoności trzeba i wystarczy:
\[\begin{cases}0=-2A+B\\ B=1\end{cases}\]
Pozdrawiam
\(\Lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^3}{{x+2} }}=0\wedge \Lim_{x\to-2^+}f(x)=f(-2)=-2A+B\)
oraz
\(\Lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=B\wedge\Lim_{x\to0^+}(1+\sin x^2)^{1\over x}=
\Lim_{x\to0^+}\left[(1+\sin x^2)^{1\over\sin x^2}\right]^{{\sin x^2\over x^2}\cdot x}=e^{1\cdot0}=1\)
to wobec ciągłości funkcji w przedziałach określoności trzeba i wystarczy:
\[\begin{cases}0=-2A+B\\ B=1\end{cases}\]
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: parametry
Powoli:
\(\Lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^3}{{x+2} }}=\Lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^2}{1 }}=\sqrt[3]{\frac{(-4)^3\cdot0^2}{1 }}=0\)
Pozdrawiam
\(\Lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^3}{{x+2} }}=\Lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^2}{1 }}=\sqrt[3]{\frac{(-4)^3\cdot0^2}{1 }}=0\)
Pozdrawiam